PRIMEIRA PROVA DE MECÂNICA – F315 – SOLUÇÃO
- O motor de um carro de corrida fornece uma potência constante P, de modo que a força transmitida ao carro é F = P/v. Supondo que o atrito seja proporcional à velocidade, ache v(t) quando o carro é acelerado a partir do repouso. O que acontece no limite t
? (2.5)
A equação de movimento é
m =
– bv .
- Passando os termos com
v
- para a esquerda e integrando obtemos
=
= –
.
- Fazendo a mudança de variáveis
u
- =
v’2
- –
P
- /
b
- a integral fica
=
=
log
- e
v(t) = .
- No limite em que
t
- vai a infinito a velocidade atinge o valor constante
v
- (
t
- )
- Uma partícula está sujeita a uma força F(x) cuja energia potencial é dada por
- .
V(x) = – +
onde A e B são constantes positivas. Encontre os pontos de equilíbrio e discuta os tipos de movimento possíveis supondo x > 0 . (2.5)
A força é dada por
F(x) = – = –
+
.
- O único ponto de equilíbrio para
x
- > 0 é
x0
- = 2
B
- /
A
- . A figura abaixo mostra um gráfico de
V
- (
x
- ) para
A
- = 1 e
B
- = 0.1.
Para E < 0 o movimento é limitado, tendo dois pontos de retorno. Para E > 0 o movimento fica livre à direita, tendo apenas um ponto de retorno à esquerda, proximo de x = 0.
- Uma massa m cai de uma altura h sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se desenhar uma mola e um amortecedor, sobre os quais a plataforma será montada, de tal forma que ela possa atingir uma nova posição de equilíbrio x0, abaixo da posição original, tão rápido quanto possível.
(a) Determine a constante k da mola e a constante de amortecimento b do amortecedor. (1.0)
A equação de movimento a partir do momento em que a massa atinge a plataforma é
m + b
+ kx = – mg .
- A posição de equilíbrio é atingida quando
- =
- = 0. Isso dá
x0
- = –
mg
- /
k
- . Como a posição
x0
- é fornecida pelo problema, calculamos
k
- :
k = – =
- (lembrando que
x0
- é negativo). A constante de amortecimento é determinada pelo fato de que o movimento deve amortecer o mais rápido possível. Isso ocorre para o amortecimento crítico, onde
b
- /2
m
- =
- . Isso dá
b = 2m = 2m
.
(b) Obtenha a solução x(t) para o movimento da massa sobre a plataforma. Use o eixo x vertical com origem na posição de equilíbrio original da plataforma e apontando para cima. (1.5)
Como o amortecimento é crítico e temos também a força gravitacional agindo como uma força externa (constante), a solução geral é
x(t) = Ae–t + Bte–
t – mg/k
- onde
- =
b
- /2
m
- e o último termo é a solução particular da equação não-homogênea. As condições iniciais são
x
- (0) = 0 e
- (0) =
v0
- = –
- , onde escolhemos o momento do impacto como
t
- = 0 e usamos o valor da velocidade devido à queda livre da massa da altura
h
- . Impondo essas condições obtemos
A
- =
mg
- /
k
- e
B
- =
v0
- +
mg
- /
k
- . A solução final fica
x(t) = e–
t +
–
te–
t – mg/k .
- Um oscilador harmônico sem amortecimento (b = 0), é submetido a uma força externa F0sin
t.
(a) Encontre x(t) supondo que x(0) = (0) = 0. (1.5)
A equação de movimento é
m + kx = F0sin
t .
- A solução da equação homogênea é
A
- cos
t
- +
B
- sin
t
- onde
- =
- . A solução da equação não-homogênea é da forma
xnh
- =
C
- sin
t
- . Substituindo na equação de movimento encontramos
C =
- e a solução geral fica:
x(t) = A cost + B sin
t +
sin
t .
- Impondo as condições de contorno
x
- (0) =
- (0) = 0 encontramos
A
- = 0 e
B
- = –
C
- /
- . A solução final é:
x(t) = sin
t –
sin
t
.(b) Como fica o movimento se
=
? (Dica: faça
=
+
e expanda x(t) até primeira ordem em
.) (1.0)
Não podemos fazer diretamente =
em x(t). Temos que tomar o limite
. Seguindo a sugestão, fazemos
=
+
e depois fazemos
0. Expandindo cada termo que contém
obtemos:
sin![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() |
- Substituindo em
x
- (
t
- ) obtemos
x(t) | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
- A massa oscila ainda com frequência
- , mas a amplitude do movimento cresce linearmente com o tempo. Na prática, espera-se que depois de um certo tempo a mola deixe de apresentar uma resposta linear e acabe quebrando. Esse fenômeno é conhecido como
ressonância
- . Um exemplo famoso é o de uma ponte que entrou em ressonnacia com o vento soprando durante uma tempestade e acabou caindo.