- Uma partícula de massa m move-se de acordo com as equações
x(t) = x0 + bt4/4 y(t) = bt2/2 z(t) = ct . Determine, a partir dessas equações , as seguintes quantidades: velocidade
, aceleração
, força
, torque
e momento angular
em qualquer instante t. Verifique se o movimento satisfaz o teorema do momento angular
= d
/dt.
Os vetores são:= (x0 + bt4/4, bt2/2, ct)
= (bt3, bt, c)
= (3bt2, b, 0)
= m
= m(3bt2, b, 0)
=
×
= m
= mb
– ct, 3ct3, x0 – 5bt4/4
.
= m
×
= m
= m
– bct2/2, – x0c + 3bct4/4, btx0 – b2t5/4
.
Derivando
em relação ao tempo obtemos
.
- Obtenha as equações de Newton em coordenadas polares planas.(Dica: comece por
= r
e derive duas vezes em relação ao tempo para obter a aceleração ).
As relações básicas que precisamos são= d
/d
=
e
= d
/d
= –
.
A velocidade é dada por
=
+ r
=
+ r
.
A aceleração fica
= +
+
+ r
+ r
= ( – r
)
+ (2
+ r
)
Decompondo a força como
= Fr
+ F
, a equação de Newton pode ser escrita na forma
Fr = m ( – r
)
F = m (2 + r
) .
- Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central cujo potencial é dado por
V(r) = Ar4 A > 0 .
Faça um gráfico do potencial efetivo e discuta os tipos de movimentos possíveis. Para qual energia e momento angular a órbita será um círculo de raio a em torno da origem? Qual o período desse movimento circular? Calcule o período de pequenas oscilações radiais em torno do movimento circular.
O potencial efetivo é dado por Vef(r) = L2/2mr2 + Ar4. Ele tem um único mínimo em r0 = (L2/4mA)1/6 onde V(r0)E0 = 3A(L2/4mA)2/3. O potencial vai a infinito tanto para r
0 quanto para r
.
Como A > 0 a força é atrativa, apontando na direção da origem. O movimento da partícula será circular com raio r0 se E = E0 e limitado entre um anel em torno da origem se E > E0.
Para um órbita circular de raio a teremos r0 = a = (L2/4mA)1/6 de onde vem
L = 2a3e
E0 = 3A(L2/4mA)2/3 = 3Aa4 .O período orbital deste movimento circular é
= 2
/
onde
= L/ma2 = 2a
. Portanto
=
.
Finalmente o período de pequenas oscilações radiais em torno do movimento circular são obtidas expandindo-se Vef(r) em torno de r = a:
Vef(r)E0 +
Vef”(a)(r – a)2.
Nessa aproximação o movimento radial é harmônico, com frequência
=
( a derivada segunda faz o papel do k da mola e a derivada primeira é zero porque a é ponto de mínimo). O período dessas oscilações é
=
=
.
Note que essas órbitas não serão fechadas, pois os períodos radial e angular não são comensurárveis.
- Um pêndulo balístico usado para medir a velocidade de uma bala é construido suspendendo-se um bloco de madeira de massa M por uma corda de comprimento L. O pêndulo encontra-se inicialmente em repouso na vertical. Uma bala de massa m é disparada de encontro ao bloco e se incrusta nele. O pêndulo começa a balançar até que a corda faça um ângulo máximo
com a vertical. Determine a velocidade inicial da bala em termos de M, m,
, L e g.(Dica: use conservação de momento linear e de energia conforme for apropriado).
O problema deve ser resolvido em duas etapas: (i) a colisão da bala com o bloco e (ii) o movimento pendular do sistema bloco+bala.Na primeira parte as únicas forças agindo são internas e podemos então garantir a conservação de momento linear total. Denotando por v o módulo da velocidade da bala e por vs a velocidade do sistema bloco+bala logo após a colisão, e admitindo que a velocidade da bala é perpendicular ao eixo que suspende o bloco M, temos quemv = (M + m)vs ou v =vs .
Note que a energia inicial E = mv2/2 é diferente da energia final E = (m + M)vs2/2. A colisão é dita inelástica.
Após a colisão a única força que age é a gravitacional (desprezando o atrito) e essa é uma força conservativa. A energia inicial após a colisão é puramente cinética Ei = (M + m)vs2/2 e quando o pêndulo atinge o ângulo máximo
a energia é puramente potencial Ef = (M + m)gL(1 – cos
). Igualando Ei = Ef e usando a relação entre v e vs obtemos
v =.
Coordenadas polares planas————–
x = r cos y = r sin
Versores: = (cos
, sin
)
= (- sin
, cos
)