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Prova 2

SEGUNDA PROVA DE MECÂNICA – F315 – SOLUÇÃO
  1. Uma partícula de massa m move-se de acordo com as equações
    x(t) = x0 + bt4/4
    y(t) = bt2/2
    z(t) = ct  .

    Determine, a partir dessas equações , as seguintes quantidades: velocidade $ \vec{{v}}\,$, aceleração $ \vec{{a}}\,$, força $ \vec{{F}}\,$, torque $ \vec{{N}}\,$ e momento angular $ \vec{{L}}\,$ em qualquer instante t. Verifique se o movimento satisfaz o teorema do momento angular $ \vec{{N}}\,$ = d$ \vec{{L}}\,$/dt.
    Os vetores são:

    $ \vec{{r}}\,$ = (x0 + bt4/4, bt2/2, ct)

    $ \vec{{v}}\,$ = (bt3, bt, c)

    $ \vec{{a}}\,$ = (3bt2, b, 0)

    $ \vec{{F}}\,$ = m$ \vec{{a}}\,$ = m(3bt2, b, 0)

    $\displaystyle \vec{{N}}\,$ = $\displaystyle \vec{{r}}\,$×$\displaystyle \vec{{F}}\,$ = m$\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \\ x_0 + b t^4/4 & b t^2/2 & ct \\ \\ 3bt^2 & b & 0 \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \\ x_0 + b t^4/4 & b t^2/2 & ct \\ \\ 3bt^2 & b & 0 \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \\ x_0 + b t^4/4 & b t^2/2 & ct \\ \\ 3bt^2 & b & 0 \end{array} }\right)$ = mb$\displaystyle \left(\vphantom{-ct,3ct^3,x_0 - 5bt^4/4 }\right.$ – ct, 3ct3, x0 – 5bt4/4$\displaystyle \left.\vphantom{-ct,3ct^3,x_0 - 5bt^4/4 }\right)$ .
    $\displaystyle \vec{{L}}\,$ = m$\displaystyle \vec{{r}}\,$×$\displaystyle \vec{{v}}\,$ = m$\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \\ x_0 + b t^4/4 & b t^2/2 & ct \\ \\ bt^3 & bt & c \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \\ x_0 + b t^4/4 & b t^2/2 & ct \\ \\ bt^3 & bt & c \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \\ x_0 + b t^4/4 & b t^2/2 & ct \\ \\ bt^3 & bt & c \end{array} }\right)$ = m$\displaystyle \left(\vphantom{-bct^2/2,-x_0 c + 3bct^4/4, btx_0 - b^2t^5/4 }\right.$ – bct2/2, – x0c + 3bct4/4, btx0 – b2t5/4$\displaystyle \left.\vphantom{-bct^2/2,-x_0 c + 3bct^4/4, btx_0 - b^2t^5/4 }\right)$ .

    Derivando $ \vec{{L}}\,$ em relação ao tempo obtemos $ \vec{{N}}\,$.

  2. Obtenha as equações de Newton em coordenadas polares planas.(Dica: comece por $ \vec{{r}}\,$ = r$ \hat{{r}}$ e derive duas vezes em relação ao tempo para obter a aceleração ).
    As relações básicas que precisamos são$ \dot{{\hat{r}}}$ = d$ \hat{{r}}$/d$ \theta$  $ \dot{{\theta}}$ = $ \dot{{\theta}}$  $ \hat{{\theta}}$         e

    $ \dot{{\hat{\theta}}}$ = d$ \hat{{\theta}}$/d$ \theta$  $ \dot{{\theta}}$ = – $ \dot{{\theta}}$  $ \hat{{r}}$.

    A velocidade é dada por

    $ \vec{{v}}\,$ = $ \dot{{r}}$$ \hat{{r}}$ + r$ \dot{{\hat{r}}}$ = $ \dot{{r}}$$ \hat{{r}}$ + r$ \dot{{\theta}}$$ \hat{{\theta}}$.

    A aceleração fica

    $\displaystyle \vec{{a}}\,$ = $\displaystyle \ddot{{r}}$$\displaystyle \hat{{r}}$ + $\displaystyle \dot{{r}}$$\displaystyle \dot{{\hat{r}}}$ + $\displaystyle \dot{{r}}$$\displaystyle \dot{{\theta}}$$\displaystyle \hat{{\theta}}$ + r$\displaystyle \ddot{{\theta}}$$\displaystyle \hat{{\theta}}$ + r$\displaystyle \dot{{\theta}}$$\displaystyle \dot{{\hat{\theta}}}$
    = ($\displaystyle \ddot{{r}}$ – r$\displaystyle \dot{{\theta}}^{2}_{}$)$\displaystyle \hat{{r}}$ + (2$\displaystyle \dot{{r}}$$\displaystyle \dot{{\theta}}$ + r$\displaystyle \ddot{{\theta}}$)$\displaystyle \hat{{\theta}}$

    Decompondo a força como $ \vec{{F}}\,$ = Fr$ \hat{{r}}$ + F$\scriptstyle \theta$$ \hat{{\theta}}$, a equação de Newton pode ser escrita na forma

    Fr = m ($\displaystyle \ddot{{r}}$ – r$\displaystyle \dot{{\theta}}^{2}_{}$)
    F$\scriptstyle \theta$ = m (2$\displaystyle \dot{{r}}$$\displaystyle \dot{{\theta}}$ + r$\displaystyle \ddot{{\theta}}$)  .
  3. Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central cujo potencial é dado por
    V(r) = Ar4    A > 0  .

    Faça um gráfico do potencial efetivo e discuta os tipos de movimentos possíveis. Para qual energia e momento angular a órbita será um círculo de raio a em torno da origem? Qual o período desse movimento circular? Calcule o período de pequenas oscilações radiais em torno do movimento circular.
    O potencial efetivo é dado por Vef(r) = L2/2mr2 + Ar4. Ele tem um único mínimo em r0 = (L2/4mA)1/6 onde V(r0) $ \equiv$ E0 = 3A(L2/4mA)2/3. O potencial vai a infinito tanto para r $ \rightarrow$ 0 quanto para r $ \rightarrow$ $ \infty$.

    Como A > 0 a força é atrativa, apontando na direção da origem. O movimento da partícula será circular com raio r0 se E = E0 e limitado entre um anel em torno da origem se E > E0.

    Para um órbita circular de raio a teremos r0 = a = (L2/4mA)1/6 de onde vem

    L = 2a3$\displaystyle \sqrt{{Am}}$

    e

    E0 = 3A(L2/4mA)2/3 = 3Aa4  .

    O período orbital deste movimento circular é $ \tau$ = 2$ \pi$/$ \omega$ onde $ \omega$ = L/ma2 = 2a$ \sqrt{{A/m}}$. Portanto

    $\displaystyle \tau$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{a}}}$  $\displaystyle \sqrt{{\frac{m}{A}}}$  .

    Finalmente o período de pequenas oscilações radiais em torno do movimento circular são obtidas expandindo-se Vef(r) em torno de r = a:

    Vef(r) $\displaystyle \approx$ E0 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$Vef”(a)(r – a)2.

    Nessa aproximação o movimento radial é harmônico, com frequência

    $\displaystyle \Omega$ = $\displaystyle \sqrt{{V_{ef}^{''}(a)/m}}$

    ( a derivada segunda faz o papel do k da mola e a derivada primeira é zero porque a é ponto de mínimo). O período dessas oscilações é

    $\displaystyle \tau_{r}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{2\pi}}{{\Omega}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{a}}}$  $\displaystyle \sqrt{{\frac{m}{6A}}}$  .

    Note que essas órbitas não serão fechadas, pois os períodos radial e angular não são comensurárveis.

  4. Um pêndulo balístico usado para medir a velocidade de uma bala é construido suspendendo-se um bloco de madeira de massa M por uma corda de comprimento L. O pêndulo encontra-se inicialmente em repouso na vertical. Uma bala de massa m é disparada de encontro ao bloco e se incrusta nele. O pêndulo começa a balançar até que a corda faça um ângulo máximo $ \theta$ com a vertical. Determine a velocidade inicial da bala em termos de M, m, $ \theta$, L e g.(Dica: use conservação de momento linear e de energia conforme for apropriado).
    O problema deve ser resolvido em duas etapas: (i) a colisão da bala com o bloco e (ii) o movimento pendular do sistema bloco+bala.Na primeira parte as únicas forças agindo são internas e podemos então garantir a conservação de momento linear total. Denotando por v o módulo da velocidade da bala e por vs a velocidade do sistema bloco+bala logo após a colisão, e admitindo que a velocidade da bala é perpendicular ao eixo que suspende o bloco M, temos que

    mv = (M + m)vs        ou        v = $\displaystyle {\frac{{M+m}}{{m}}}$vs  .

    Note que a energia inicial E = mv2/2 é diferente da energia final E = (m + M)vs2/2. A colisão é dita inelástica.

    Após a colisão a única força que age é a gravitacional (desprezando o atrito) e essa é uma força conservativa. A energia inicial após a colisão é puramente cinética Ei = (M + m)vs2/2 e quando o pêndulo atinge o ângulo máximo $ \theta$ a energia é puramente potencial Ef = (M + m)gL(1 – cos$ \theta$). Igualando Ei = Ef e usando a relação entre v e vs obtemos

    v = $\displaystyle {\frac{{M+m}}{{m}}}$$\displaystyle \sqrt{{2gL(1-\cos{\theta})}}$  .

Coordenadas polares planas————–

x = r cos$ \theta$          y = r sin$ \theta$

Versores:         $ \hat{{r}}$ = (cos$ \theta$, sin$ \theta$)          $ \hat{{\theta}}$ = (- sin$ \theta$, cos$ \theta$)