Return to Testes

Prova 3

TERCEIRA PROVA DE MECÂNICA – F315
  1. (3 pontos) Duas massas m1 e m2 ligadas por uma mola de constante elástica k e comprimento de repouso l, deslisam sem atrito ao longo do eixo x.(a) Escreva as equações de movimento das massas escolhendo um sistema de coordenadas com origem fixa em algum ponto de referência sobre o eixo x. Chame a coordenada de m1 de x1 e a de m2 dex2.(b) Mostre que o centro de massa do sistema se move com velocidade uniforme e que as massas oscilam com frequência [k(m1 + m2)/m1m2)]1/2.(c) Encontre x1(t) e x2(t). (a) As equações de movimento são:
    m1$\displaystyle \ddot{{x}}_{1}^{}$ = k(x2x1l )
    m2$\displaystyle \ddot{{x}}_{2}^{}$ = – k(x2x1l )

    (b) O centro de massa é definido por R = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2). Derivando duas vezes no tempo obtemos

    $\displaystyle \ddot{{R}}$ = $\displaystyle {\frac{{m_1 \ddot{x}_1 + m_2 \ddot{x}_2}}{{m_1 + m_2}}}$
    = $\displaystyle {\frac{{k (x_2-x_1-l) - k (x_2-x_1-l)}}{{m_1 + m_2}}}$=0

    Portanto R(t) = R0 + V0t.
    Definindo a coordenada relativa y = x2x1l temos

    $\displaystyle \ddot{{y}}$ = $\displaystyle \ddot{{x}}_{2}^{}$$\displaystyle \ddot{{x}}_{1}^{}$
    = $\displaystyle \left(\vphantom{- \frac{k}{m_1}\, y }\right.$$\displaystyle {\frac{{k}}{{m_1}}}$ y$\displaystyle \left.\vphantom{- \frac{k}{m_1}\, y }\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{k}{m_2} \, y }\right.$$\displaystyle {\frac{{k}}{{m_2}}}$ y$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{k}{m_2} \, y }\right)$
    = – k$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{m_1+m_2}{m_1 m_2}}\right.$$\displaystyle {\frac{{m_1+m_2}}{{m_1 m_2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{m_1+m_2}{m_1 m_2}}\right)$y

    que é a equação de um oscilador harmônico com frequência $ \omega$ = $ \sqrt{{k \left(\frac{m_1+m_2}{m_1 m_2}\right)}}$.
    (c) Escrevendo y(t) = A cos($ \omega$t+$ \delta$) e escrevendo x1 e x2 em termos de R e y obtemos

    x1 = R – (y+l$\displaystyle {\frac{{m_2}}{{m_1+m_2}}}$
    x2 = R + (y+l$\displaystyle {\frac{{m_1}}{{m_1+m_2}}}$

    ou

    x1 = R0 + V0t$\displaystyle \left[\vphantom{ A \cos{(\omega t +\delta)}+l }\right.$A cos($\displaystyle \omega$t+$\displaystyle \delta$) + l$\displaystyle \left.\vphantom{ A \cos{(\omega t +\delta)}+l }\right]$ $\displaystyle {\frac{{m_2}}{{m_1+m_2}}}$
    x2 = R0 + V0t + $\displaystyle \left[\vphantom{ A \cos{(\omega t +\delta)}+l }\right.$A cos($\displaystyle \omega$t+$\displaystyle \delta$) + l$\displaystyle \left.\vphantom{ A \cos{(\omega t +\delta)}+l }\right]$ $\displaystyle {\frac{{m_1}}{{m_1+m_2}}}$
  2. (3 pontos) Determine o potencial gravitacional e o campo gravitacional devido a um haste de comprimento L e massa M num ponto a uma distância R do centro da haste na direção perpendicular a ela. Suponha que R > > L e faça os cálculos somente até segunda ordem em L/R. Determine o centro de gravidade da haste nesse ponto.
    Colocando a haste sobre o eixo x com o centro na origem e chamando de z o eixo sobre o qual se encontra o ponto em questão temos

    $\displaystyle \cal {G}$(R) = $\displaystyle \int_{{-L/2}}^{{L/2}}$$\displaystyle {\frac{{G \rho dx}}{{\sqrt{R^2+x^2}}}}$

    onde $ \rho$ = M/L. Como R > > L podemos expandir

    $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{R^2+x^2}}}}$ $\displaystyle \approx$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{R}}}$(1 – $\displaystyle {\frac{{x^2}}{{2 R^2}}}$)  .

    Então:

    $\displaystyle \cal {G}$(R) $\displaystyle \approx$ $\displaystyle {\frac{{G M}}{{R L}}}$$\displaystyle \int_{{-L/2}}^{{L/2}}$(1 – $\displaystyle {\frac{{x^2}}{{2 R^2}}}$)dx
    = $\displaystyle {\frac{{G M}}{{R L}}}$(L$\displaystyle {\frac{{L^3}}{{24 R^2}}}$)
    = $\displaystyle {\frac{{G M}}{{R}}}$(1 – $\displaystyle {\frac{{L^2}}{{24 R^2}}}$)  .

    O campo gravitacional entá na direção – $ \hat{{z}}$:

    $\displaystyle \vec{{g}}\,$(R) = $\displaystyle {\frac{{\partial {\cal G}}}{{\partial R}}}$$\displaystyle \hat{{z}}$ = – $\displaystyle {\frac{{G M}}{{R^2}}}$(1 – $\displaystyle {\frac{{L^2}}{{8 R^2}}}$)$\displaystyle \hat{{z}}$  .

    O centro de gravidade está a uma distância D do ponto R dada por

    $\displaystyle {\frac{{G M}}{{R^2}}}$(1 – $\displaystyle {\frac{{L^2}}{{8 R^2}}}$) = $\displaystyle {\frac{{G M}}{{D^2}}}$  .

    Resolvendo para D (expandindo novamente até segunda ordem) encontramos

    D = R(1 + $\displaystyle {\frac{{L^2}}{{16 R^2}}}$) > R.

    Portanto, o centro de gravidade está ‘atras’ da haste.

  3. (4 pontos) João e Maria brincam de jogar bola sobre uma plataforma que gira que velocidade angular $ \omega$. Considere dois sistemas de referência com origem no centro da plataforma: x, y, z, fixo no solo, e x’, y’, z’ = z fixo na plataforma. Suponha que em t = 0 os eixos x, y e x’, y’ coincidam e que as crianças estejam posicionadas ao longo do eixo x’, João em x’ = – A e Maria em x’ = A. Em t = 0 João joga a bola para Maria com velocidade inicial v0. Despreze a força gravitacional e a rotação da Terra.(a) Calcule a trajetória da bola no referencial fixo no solo.(b) Escreva as equações de transformação entre x, y e x’, y’ e obtenha, a partir do ítem (a), x’(t) e y’(t).(c) Escreva as equações de movimento da bola no referencial que gira com a plataforma.(d) Verifique que sua solução do ítem (b) satisfaz as equações do ítem (c).(a) No referencial fixo no solo, nenhuma força age sobre a bola. Seu movimento é retilíneo uniforme:
    x(t) = – A + v0t
    y(t) = 0  .

    (b) A transformação de coordenadas é aquela de uma rotação com ângulo $ \omega$t:

    $\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{l} x' \\ y' \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{l} x' \\ y' \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} x' \\ y' \end{array} }\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{ll} \cos{\omega t} & -\sin{\omega t} \\ \sin{\omega t} & \cos{\omega t} \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll} \cos{\omega t} & -\sin{\omega t} \\ \sin{\omega t} & \cos{\omega t} \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ll} \cos{\omega t} & -\sin{\omega t} \\ \sin{\omega t} & \cos{\omega t} \end{array} }\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{l} x \\ y \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{l} x \\ y \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} x \\ y \end{array} }\right)$  .

    Substituindo as expressões de x e y obtemos:

    x’(t) = (- A + v0t) cos$\displaystyle \omega$t
    y’(t) = – (- A + v0t) sin$\displaystyle \omega$t  .

    (c) No referencial girando com o carrossel temos as forças fictícias de Colioris e Centrífuga:

    m$\displaystyle \ddot{{\vec{r}}}$ = – m$\displaystyle \vec{{\omega}}\,$×($\displaystyle \vec{{\omega}}\,$×$\displaystyle \vec{{r}}\,$) – 2m$\displaystyle \vec{{\omega}}\,$×$\displaystyle \vec{{v}}\,$  .

    Calculando esses termos explicitamente em coordenadas cartezianas obtemos

    $\displaystyle \vec{{\omega}}\,$×($\displaystyle \vec{{\omega}}\,$×$\displaystyle \vec{{r}}\,$) = – $\displaystyle \omega^{2}_{}$ (x’, y’, 0)

    e

    $\displaystyle \vec{{\omega}}\,$×$\displaystyle \vec{{v}}\,$ = – $\displaystyle \omega$ ($\displaystyle \dot{{y}}{^\prime}$, – $\displaystyle \dot{{x}}{^\prime}$, 0)  .

    As equações de movimento no referencial girante ficam (já cancelando a massa):

    $\displaystyle \ddot{{x}}{^\prime}$ = $\displaystyle \omega^{2}_{}$ x + 2$\displaystyle \omega$ $\displaystyle \dot{{y}}{^\prime}$
    $\displaystyle \ddot{{y}}{^\prime}$ = $\displaystyle \omega^{2}_{}$ y – 2$\displaystyle \omega$ $\displaystyle \dot{{x}}{^\prime}$  .

    (d) Da solução do ítem (b) temos

    x’ = (- A + v0t) cos$\displaystyle \omega$t
    $\displaystyle \dot{{x}}{^\prime}$ = v0 cos$\displaystyle \omega$t$\displaystyle \omega$(- A + v0t) sin$\displaystyle \omega$t
    $\displaystyle \ddot{{x}}{^\prime}$ = – 2v0$\displaystyle \omega$sin$\displaystyle \omega$t$\displaystyle \omega^{2}_{}$(- A + v0t) cos$\displaystyle \omega$t

    e

    y’ = – (- A + v0t) sin$\displaystyle \omega$t
    $\displaystyle \dot{{y}}{^\prime}$ = – v0 sin$\displaystyle \omega$t$\displaystyle \omega$(- A + v0t) cos$\displaystyle \omega$t
    $\displaystyle \ddot{{y}}{^\prime}$ = – 2v0$\displaystyle \omega$cos$\displaystyle \omega$t + $\displaystyle \omega^{2}_{}$(- A + v0t) sin$\displaystyle \omega$t  .

    Substituindo essas expressões nas equações de movimento, é fácil verificar que elas as satisfazem.