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Hamiltoniana de uma Partícula em Campos Eletromagnéticos Externos

Hamiltoniana de uma partícula num campo Eletromagnético Externo

Notas de aula de Mecânica Quântica II – Marcus A.M. de Aguiar – 03/04/2000

As equações de Euler-Lagrange para um conjunto de coordenadas generalizadas qi assumem a forma geral

$\displaystyle {\frac{d}{dt}}$($\displaystyle {\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}}$) – $\displaystyle {\frac{\partial T}{\partial q_i}}$ = Qi (1)

onde T é a energia cinética da partícula escrita em termos das coordenadas q e $ \dot{q}$ e

Qi = F . $\displaystyle {\frac{\partial {\bf r}}{\partial {q}_i}}$ = $\displaystyle \sum_{j}^{}$Fj  $\displaystyle {\frac{\partial r_j}{\partial {q}_i}}$ (2)

é a força generalizada na direção qi. Uma demonstração desse resultado a partir das equações de Newton pode ser encontrada no livro do Goldstein. Se Qi for derivada de um potencial podemos escrever

Qi = F . $\displaystyle {\frac{\partial {\bf r}}{\partial {q}_i}}$ = – $\displaystyle \nabla$V . $\displaystyle {\frac{\partial {\bf r}}{\partial {q}_i}}$ = – $\displaystyle \sum_{j}^{}$$\displaystyle {\frac{\partial V}{\partial r_j}}$  $\displaystyle {\frac{\partial r_j}{\partial {q}_i}}$ = – $\displaystyle {\frac{\partial V}{\partial q_i}}$ (3)

Se, além disso, V for independente das velocidades $ \dot{q}$, então as equações (1) ficam

$\displaystyle {\frac{d}{dt}}$($\displaystyle {\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}}$) – $\displaystyle {\frac{\partial L}{\partial q_i}}$ = 0 (4)

onde a Lagrangeana L é definida por

L = TV (5)

Ocorre que a forma acima das equações de Euler-Lagrange é mais geral do que parece à primeira vista: Se as forças generalizadas Qi dependerem das velocidades mas puderem ser escritas como

Qi = – $\displaystyle {\frac{\partial V}{\partial q_i}}$ + $\displaystyle {\frac{d}{dt}}$($\displaystyle {\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_i}}$) (6)

as equações (1) ainda podem ser re-escritas na forma (4). Apesar de parecer muito particular, esse é exatamente o caso eletromagnético, como mostraremos a seguir.

A força de Lorentz é dada por

F = q(E + v x B) (7)

e das equações de Maxwell temos que

$\displaystyle \nabla$ . B = 0
$\displaystyle \nabla$ x E+$\displaystyle {\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}}$ = 0
(8)

Da primeira vem que B = $ \nabla$ x A. Substituindo esse resultado na segunda obtemos

$\displaystyle \nabla$ x (E + $\displaystyle {\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}}$) = 0 (9)

ou,

E + $\displaystyle {\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}}$ = – $\displaystyle \nabla$$\displaystyle \phi$ (10)

de forma que

F = q[- $\displaystyle \nabla$$\displaystyle \phi$$\displaystyle {\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}}$ + v x ($\displaystyle \nabla$ x A)] (11)

Usamos agora duas identidades para simplificar os termos contendo o potencial vetor:

v x ($\displaystyle \nabla$ x A) = $\displaystyle \nabla$(v . A) – (v . $\displaystyle \nabla$)A (12)

e

$\displaystyle {\frac{d {\bf A}}{d t}}$ = $\displaystyle {\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}}$ + (v . $\displaystyle \nabla$)A (13)

Com isso podemos re-escrever F como

F = q[- $\displaystyle \nabla$$\displaystyle \phi$ + $\displaystyle \nabla$(v . A) – $\displaystyle {\frac{d {\bf A}}{d t}}$] (14)

e, finalmente, vemos que

$\displaystyle {\frac{d {\bf A}}{d t}}$ = $\displaystyle {\frac{d}{dt}}$[$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial {\bf v}}}$($\displaystyle \phi$v . A)] (15)

pois $ \phi$ não depende de v. Assim,

F = q{ – $\displaystyle \nabla$($\displaystyle \phi$v . A) + $\displaystyle {\frac{d}{dt}}$[$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial {\bf v}}}$($\displaystyle \phi$v . A)]}
= $\displaystyle \nabla$U+$\displaystyle {\frac{d}{dt}}$($\displaystyle {\frac{\partial U}{\partial {\bf v}}}$)
(16)

Como a força de Lorentz satisfaz a equação (6) a Lagrangeana do sistema é

L = Tq$\displaystyle \phi$ + qv . A (17)

Procedemos agora para a determinação da Hamiltoniana. Os momentos conjugados às coordenadas q são:

p = $\displaystyle {\frac{\partial L}{\partial {\bf v}}}$ = mv + qA (18)

ou,

v = $\displaystyle {\frac{1}{m}}$(pqA) (19)

Substituindo em

H = p . vL (20)

obtemos

H = p$\displaystyle {\frac{1}{m}}$(pqA) – $\displaystyle {\frac{m}{2}}$[$\displaystyle {\frac{1}{m}}$(pqA)]2 + q$\displaystyle \phi$q[$\displaystyle {\frac{1}{m}}$(pqA)] . A (21)

que, combinando o primeiro e o último termo simplifica para

H = $\displaystyle {\frac{1}{2m}}$(pqA)2 + q$\displaystyle \phi$ (22)