Notas de aula de Mecânica Quântica II – Marcus A.M. de Aguiar – 03/04/2000
As equações de Euler-Lagrange para um conjunto de coordenadas generalizadas qi assumem a forma geral
onde T é a energia cinética da partícula escrita em termos das coordenadas q e e
é a força generalizada na direção qi. Uma demonstração desse resultado a partir das equações de Newton pode ser encontrada no livro do Goldstein. Se Qi for derivada de um potencial podemos escrever
Se, além disso, V for independente das velocidades , então as equações (1) ficam
onde a Lagrangeana L é definida por
Ocorre que a forma acima das equações de Euler-Lagrange é mais geral do que parece à primeira vista: Se as forças generalizadas Qi dependerem das velocidades mas puderem ser escritas como
as equações (1) ainda podem ser re-escritas na forma (4). Apesar de parecer muito particular, esse é exatamente o caso eletromagnético, como mostraremos a seguir.
A força de Lorentz é dada por
e das equações de Maxwell temos que
Da primeira vem que B = x A. Substituindo esse resultado na segunda obtemos
ou,
de forma que
Usamos agora duas identidades para simplificar os termos contendo o potencial vetor:
e
Com isso podemos re-escrever F como
e, finalmente, vemos que
pois não depende de v. Assim,
Como a força de Lorentz satisfaz a equação (6) a Lagrangeana do sistema é
Procedemos agora para a determinação da Hamiltoniana. Os momentos conjugados às coordenadas q são:
ou,
Substituindo em
obtemos
que, combinando o primeiro e o último termo simplifica para