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Teste 1

PRIMEIRO TESTINHO DE MECÂNICA – F315

Uma partícula move-se sob a ação do potencial

V(x) = V0x4 – $\displaystyle \lambda$x2  .(a) Determine a força.

(b) Esboçe o gráfico de V(x) e descreva os movimentos possí veis.

(c) Encontre a velocidade máxima da partícula em x0 = – $ \sqrt{{\lambda/(2V_0)}}$ para esta permaneça confinada à região x < 0.

(d) Calcule o período de pequenas oscilações em torno dos pontos de equilíbrio estável.
SOLUÇÃO

(a) F(x) = – $ {\frac{{d V}}{{dx}}}$ = – 4V0x3 + 2$ \lambda$x
(b) A figura abaixo mostra V(x) para V0 = 1 e $ \lambda$ = 10. Existem dois mínimos locais em x± = ±$ \sqrt{{\lambda/(2V_0)}}$ e um máximo em x = 0. Além disso, V(0) = 0 e V(x±) = – $ \lambda^{2}_{}$/(4V0) $ \equiv$ E0. Os pontos de mínimo são pontos de equilíbrio estável, o ponto de máximo equilí brio instável. Se a partícula tiver energia menor do que zero, ela ficará confinada a um dos poços do potencial. Se a energia E for positiva, ela oscilará entre os pontos – a e +a, onde a é determinado pela condição V(a) = E, ocupando tanto a parte positiva quanto negativa do eixo x.
(c)As velocidades permitidas para que a partícula permaneça na região dos eixos negativos, tendo partido de x– são dadas pela condição E = mv2/2 + E0 < 0. A velocidade máxima ocorre para E = 0, ou, vmax = $ \sqrt{{-2E_0/m}}$ = $ \lambda$/$ \sqrt{{2 V_0 m}}$.
(d) Como o potencial é simétrico, basta expandir V(x) em torno de um dos dois pontos estáveis. O período de oscilação será igual em torno dos dois pontos. Vamos tomar o ponto á direita. Fazendo

V(x) $\displaystyle \approx$ V(x+) + V’(x+)(x – x+) + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$V”(x+)(x – x+)2obtemos V’(x+) = 0 (pois x+ é ponto de equilíbrio), V(x+) = – $ \lambda^{2}_{}$/(4V0) = E0 e V”(x+) = 4$ \lambda$. Assim, para x perto de x+ podemos escrever

E = E0 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$mv2 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$4$\displaystyle \lambda$(x – x+)2  .A frequência de pequenas oscilações é $ \omega$ = $ \sqrt{{4\lambda/m}}$. O período é $ \tau$ = 2$ \pi$/$ \omega$ = $ \pi$$ \sqrt{{m/\lambda}}$. A solução , para x perto de x+ é:

x(t) = x+ + A cos($\displaystyle \omega$t+$\displaystyle \phi$)onde A = $ \sqrt{{(E-E_0)/2\lambda}}$ (mostre isso!).

 Figure 1: V(x) para V0 = 1 e $ \lambda$ = 10