PRIMEIRO TESTINHO DE MECÂNICA – F315
Uma partícula move-se sob a ação do potencial
V(x) = V0x4 – x2 .(a) Determine a força.
(b) Esboçe o gráfico de V(x) e descreva os movimentos possí veis.
(c) Encontre a velocidade máxima da partícula em x0 = – para esta permaneça confinada à região x < 0.
(d) Calcule o período de pequenas oscilações em torno dos pontos de equilíbrio estável.
SOLUÇÃO
(a) F(x) = – = – 4V0x3 + 2
x
(b) A figura abaixo mostra V(x) para V0 = 1 e = 10. Existem dois mínimos locais em x± = ±
e um máximo em x = 0. Além disso, V(0) = 0 e V(x±) = –
/(4V0)
E0. Os pontos de mínimo são pontos de equilíbrio estável, o ponto de máximo equilí brio instável. Se a partícula tiver energia menor do que zero, ela ficará confinada a um dos poços do potencial. Se a energia E for positiva, ela oscilará entre os pontos – a e +a, onde a é determinado pela condição V(a) = E, ocupando tanto a parte positiva quanto negativa do eixo x.
(c)As velocidades permitidas para que a partícula permaneça na região dos eixos negativos, tendo partido de x– são dadas pela condição E = mv2/2 + E0 < 0. A velocidade máxima ocorre para E = 0, ou, vmax = =
/
.
(d) Como o potencial é simétrico, basta expandir V(x) em torno de um dos dois pontos estáveis. O período de oscilação será igual em torno dos dois pontos. Vamos tomar o ponto á direita. Fazendo
V(x) V(x+) + V’(x+)(x – x+) +
V”(x+)(x – x+)2obtemos V’(x+) = 0 (pois x+ é ponto de equilíbrio), V(x+) = –
/(4V0) = E0 e V”(x+) = 4
. Assim, para x perto de x+ podemos escrever
E = E0 + mv2 +
4
(x – x+)2 .A frequência de pequenas oscilações é
=
. O período é
= 2
/
=
. A solução , para x perto de x+ é:
x(t) = x+ + A cos(t+
)onde A =
(mostre isso!).
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