Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma Força F cujas componentes são
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onde a é uma constante positiva.
(a) Mostre que F é conservativa.
(b) Determine a energia potencial escolhendo a origem como ponto de referência e integrando – F . d por um caminho de sua escolha.
(c) Escreva F em coordenadas cilíndricas. Escrevas as equações de movimento nessas coordenadas e mostre que a compomente z do momento angular, m é conservada. Mostre que o movimento pode ser separado num movimento acelerado na direção
e um movimento do tipo central no plano x – y.
(d) Descreva os movimentos possíveis.
————— Coordenadas cilíndricas————–
x = cos
y =
sin
z
Versores:
= (cos
, sin
, 0)
= (- sin
, cos
, 0)
= (0, 0, 1)
Equações de movimento:
m( –
) = F
m( + 2
) = F
m = Fz
(a) é convervativa, pois









(b) Escolhendo o caminho reto entre a origem e o ponto = (x, y, z), parametrizamos a curva por t, entre 0 e 1:
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d![]() ![]() |
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(c) = – cos
– sin
– a
= – (cos
, sin
, 0) – a(0, 0, 1) = –
– a
.
As equações de movimento ficam
m(![]() ![]() ![]() |
= – 1 |
m(![]() ![]() ![]() ![]() |
= 0 |
m![]() |
Derivando Lz = m em relação ao tempo obtemos











por causa da segunda equação de movimento acima.
A equação para z pode ser integrada imediatamente, pois não está acoplada as outras. Obtemos
z(t) = z0 + –
t2.
Usando = Lz/m
a primeira equação de movimento fica:



onde


(d) O potencial efetivo em tem um único mínimo em
= (Lz2/m)1/3, correspondendo a uma órbita circular no plano x – y e acelerada na direção z, com energia E = Ez + Vef(
) onde Ez = m
/2 + az. Para energias radiais maiores, o movimento no plano x – y não é mais circular, mas fica limitado a um anel.