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Teste 2

SEGUNDO TESTINHO DE MECÂNICA – F315

Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma Força F cujas componentes são

Fx = –$\displaystyle {\frac{{x}}{{\sqrt{x^2+y^2}}}}$
Fy = –$\displaystyle {\frac{{y}}{{\sqrt{x^2+y^2}}}}$
Fz = – a

onde a é uma constante positiva.

(a) Mostre que F é conservativa.

(b) Determine a energia potencial escolhendo a origem como ponto de referência e integrando – F . d$ \bf r$ por um caminho de sua escolha.

(c) Escreva F em coordenadas cilíndricas. Escrevas as equações de movimento nessas coordenadas e mostre que a compomente z do momento angular, m$ \rho^{2}_{}$$ \dot{{\phi}}$ é conservada. Mostre que o movimento pode ser separado num movimento acelerado na direção $ \hat{{z}}$ e um movimento do tipo central no plano x – y.

(d) Descreva os movimentos possíveis.

————— Coordenadas cilíndricas————–

x = $ \rho$cos$ \phi$          y = $ \rho$sin$ \phi$         z

Versores:

$ \hat{{\rho}}$ = (cos$ \phi$, sin$ \phi$, 0)

$ \hat{{\phi}}$ = (- sin$ \phi$, cos$ \phi$, 0)

$ \hat{{z}}$ = (0, 0, 1)

Equações de movimento:

m($ \ddot{{\rho}}$ – $ \rho$$ \dot{{\phi}}^{2}_{}$) = F$\scriptstyle \rho$

m($ \rho$$ \ddot{{\phi}}$ + 2$ \dot{{\rho}}$$ \dot{{\phi}}$) = F$\scriptstyle \phi$

m$ \ddot{{z}}$ = Fz

SOLUÇÃO

(a) $ \bf F$ é convervativa, pois

$\displaystyle \nabla$×$\displaystyle \bf F$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \... ...-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & -a \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \partial_... ... \\ -\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & -a \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \... ...-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & -a \end{array} }\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{0,0,\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}} }\right.$0, 0,$\displaystyle {\frac{{xy}}{{(x^2+y^2)^{3/2}}}}$ – $\displaystyle {\frac{{xy}}{{(x^2+y^2)^{3/2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{0,0,\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}} }\right)$ = 0 .

(b) Escolhendo o caminho reto entre a origem e o ponto $ \bf r$ = (x, y, z), parametrizamos a curva por t, entre 0 e 1:

$\displaystyle \bf r$(t) = (xt, yt, zt) = t $\displaystyle \bf r$
d$\displaystyle \bf r$(t) = dt $\displaystyle \bf r$
$\displaystyle \bf F$($\displaystyle \bf r$(t)) . d$\displaystyle \bf r$(t) = – $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{y^ 2}{\sqrt{x^2+y^2}} + az }\right.$$\displaystyle {\frac{{x^2}}{{\sqrt{x^2+y^2}}}}$ + $\displaystyle {\frac{{y^ 2}}{{\sqrt{x^2+y^2}}}}$ + az$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{y^ 2}{\sqrt{x^2+y^2}} + az }\right)$dt = – ($\displaystyle \sqrt{{x^2+y^2}}$ + az) dt
V($\displaystyle \bf r$) = – $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle \bf F$($\displaystyle \bf r$(t)) . d$\displaystyle \bf r$(t) = ($\displaystyle \sqrt{{x^2+y^2}}$ + az)  .

(c) $ \bf F$ = – cos$ \phi$ $ \hat{{x}}$ – sin$ \phi$ $ \hat{{y}}$ – a$ \hat{{z}}$ = – (cos$ \phi$, sin$ \phi$, 0) – a(0, 0, 1) = – $ \hat{{\rho}}$ – a$ \hat{{z}}$.

As equações de movimento ficam

m($\displaystyle \ddot{{\rho}}$ – $\displaystyle \rho$$\displaystyle \dot{{\phi}}^{2}_{}$) = – 1
m($\displaystyle \rho$$\displaystyle \ddot{{\phi}}$ + 2$\displaystyle \dot{{\rho}}$$\displaystyle \dot{{\phi}}$) = 0
m$\displaystyle \ddot{{z}}$ = – a

Derivando Lz = m$ \rho^{2}_{}$$ \dot{{\phi}}$ em relação ao tempo obtemos

$\displaystyle {\frac{{d L_z}}{{dt}}}$ = 2m$\displaystyle \rho$$\displaystyle \dot{{\rho}}$$\displaystyle \dot{{\phi}}$ + m$\displaystyle \rho^{2}_{}$$\displaystyle \ddot{{\phi}}$ = m$\displaystyle \rho$(2$\displaystyle \dot{{\rho}}$$\displaystyle \dot{{\phi}}$ + $\displaystyle \rho$$\displaystyle \ddot{{\phi}}$) = 0

por causa da segunda equação de movimento acima.

A equação para z pode ser integrada imediatamente, pois não está acoplada as outras. Obtemos

z(t) = z0 + $ \dot{{z}}_{0}^{}$ – $ {\frac{{a}}{{2m}}}$t2.

Usando $ \dot{{\phi}}$ = Lz/m$ \rho^{2}_{}$ a primeira equação de movimento fica:

m$\displaystyle \ddot{{\rho}}$ = $\displaystyle {\frac{{L_z^2}}{{m \rho^3}}}$ – 1 = – $\displaystyle {\frac{{\partial V_{ef}}}{{\partial \rho}}}$

onde

Vef = $\displaystyle {\frac{{L_z^2}}{{2m \rho^2}}}$ + $\displaystyle \rho$  .

(d) O potencial efetivo em $ \rho$ tem um único mínimo em $ \rho_{0}^{}$ = (Lz2/m)1/3, correspondendo a uma órbita circular no plano x – y e acelerada na direção z, com energia E = Ez + Vef($ \rho_{0}^{}$) onde Ez = m$ \dot{{z}}^{2}_{}$/2 + az. Para energias radiais maiores, o movimento no plano x – y não é mais circular, mas fica limitado a um anel.