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2 – Estudo da dispersão de um prisma

 

 
1 – INTRODUÇÃO
Para se projetar um sistema óptico constituído de lentes, é necessário conhecer-se com     exatidão, o comportamento da luz ao atravessa-las, ou seja, é indispensável conhecer-se os índices de refração dos vários vidros formadores das lentes, para alguns comprimentos de onda (λ ao longo do espectro, onde seu sistema deverá operar (fig.1).

Fig. 1 – Curva de dispersão dos vidros.

Se um feixe de luz policromático se propaga num meio material, a velocidade de propagação de cada onda que o compõe é diferente. Chama-se dispersão a variação da velocidade de propagação, portanto do índice de refração com o comprimento de onda (λ) de cada componente do feixe.
A dispersão em cores da luz branca observada na fig.2 quando esta atravessa um prisma, é uma evidência direta da dependência de n, com o comprimento de onda (λ).
Considere o prisma da fig. 2 e um raio de luz que incide com ângulo de incidência  θ. Utilizando a lei de Snell e relações trigonométricas simples, é fácil mostrar que este raio é desviado por um ângulo δ dado por:

                                           (1).

onde  α é o ângulo de ápice e n, o índice de refração do prisma. A expressão 1 é válida para qualquer ângulo de incidência. Atenção que o seno inverso que aparece em (1) coincide com o ângulo de emergência Φ. Pode-se mostrar que a função d(Θ) apresenta um mínimo quando Θ Φ .

Fig. 2 – Dispersão em cores da luz branca.

Nesta condição se satisfaz a relação:

                                                            (2)

A expressão 2 é utilizada geralmente para determinar n a partir de medidas de α e δmin. Para isto, o prisma é montado sobre um goniômetro de precisão como ilustrado na fig. 4.
A precisão dos goniômetros do laboratório é de ±1’ (também há no laboratório um goniômetro com precisão de ±1″). Para garantir essa precisão o aluno deve ter cuidado com erros de leitura por paralaxe. O erro de paralaxe pode ser minimizado posicionando o olho sempre na mesma posição angular em relação ao vernier (por exemplo, movendo a cabeça até que o olho, o risco do vernier e o eixo de giro do goniômetro estejam sempre alinhados).
A principal aplicação dos prismas é para dispersar (separar) o espectro de uma fonte de luz.
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Por “prisma calibrado” queremos dizer que conhecemos o ângulo de desvio como função do comprimento de onda, δ= δ(λ). Para calibrar o prisma utilizamos uma lâmpada espectral de espectro discreto e conhecido, (veja tabelas no Apêndice II) medimos δ para várias linhas espectrais e construímos uma curva de interpolação que nos permita predizer  δ para outros valores de λ, ou determinar o λ a partir do δ. Em primeira aproximação a curva de interpolação pode ser uma simples reta:

                                                                            , (3)

onde a e b são os coeficientes da reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais.
        Para medidas mais precisas, a curva de interpolação pode ser melhorada utilizando polinômios de ajuste de ordem superior ou, melhor ainda, funções de ajuste baseadas em modelos mais realistas da dispersão do material do prisma. Nestes casos utilizamos a expressão (2) e uma fórmula para n(λ) que pode ser a fórmula de Cauchy, de Sellmeier ou outra.
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                                               Fig. 3 – Curva de calibração do prisma.

Por exemplo, no caso de utilizarmos a fórmula de Cauchy, n(λ) = A + B/λ2, ( onde A e B são os coeficientes da reta) obtemos, da eq. 2,

                                                    (4)

No caso de utilizarmos a fórmula de Sellmeier

                                                         (5)

2 – Objetivos
1 – Analisar experimentalmente o uso do prisma como espectrômetro.
2 – Através da medida direta do ângulo de desvio mínimo de vários ls das lâmpadas, determinar a curva do ângulo de desvio ( δminx λ) FAZER APENAS UMA CURVA com os ângulos de todas as lâmpadas medidas, e a curva de dispersão do vidro do prisma (n x λ – fig 1).
 3 – PREPARAÇÃO SUGERIDA
1 – Demonstre as relações 1 e 2. (utilize o princípio de reversibilidade dos caminhos ópticos para deduzir a eq. 2).
2 – Supondo α = 60º e n = 1.55, simule no computador a função δ = δ(Θ). Para que valor de Θ é δ = δmin? (isto lhe ajudará a ter uma idéia do ângulo Θ esperado).
3 – Faça uma tabela calculando δ min e Θ(δmin) para α = 60º e n =  1.4, 1.5, e 1.6 (familiarize-se com as ordens de grandeza de ângulos de desvio esperados).
4 – Se α = 60º e δmin= 46º16’ ± 1’, determine n e seu desvio, δn. Quanto vale δn se o erro em δ min  aumenta para ±3’? (idéia da precisão em medidas de n e a importância de medir bem δ min ).
5Analise o método para determinar α medindo os dois ângulos de reflexão do prisma e deduza a eq. (2).
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4 – PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
a) Equipamento
Usando-se um ESPECTRôMETRO, como o da fig. 4, várias fontes espectrais de luz (Na, He, Hg, Cd, Ar, etc.), e um prisma de vidro cujo tipo é desconhecido, é possível através da medida do ângulo entre as faces, e a medida do ângulo de desvio mínimo, determinar para cada λ, seu índice de refração.

Fig. 4 – Esquema óptico do equipamento.

Na fig. acima, podemos observar pelo esquema óptico, que o equipamento é constituído de um colimador com fenda S1, uma mesa giratória M, e uma luneta também presa a uma base giratória T.
A mesa tem uma escala dividida em graus, e uma escala em minutos. A largura da fenda é ajustada por meio de um parafuso micrométrico (No laboratório ha uma foto explicativa da escala).
A luz da fonte S ilumina a fenda S1 colocada no plano focal da lente L1 ( O parafuso (1) permite fazer o ajuste do foco). Os raios paralelos emergentes do colimador incidem sobre o prisma e sofrem um desvio angular. A luz refratada é focalizada no plano FF’ e examinada com uma lente de aumento denominada ocular (Lo). Tanto a mesa giratória como a luneta, possuem uma trava.
Para maiores detalhes veja a fig.7 no Apêndice I.
b) Método
I – Determinação do ângulo refrator do prisma
Se a fenda S estiver no plano focal da lente colimadora L1 conforme a fig. 5 abaixo, todos os raios que emergem de L1 serão paralelos entre si.
Considerando-se dois desses raios, PQ e YZ, incidentes nas faces AB e AC, respectivamente, vê-se que eles são refletidos nas direções QM e ZN. Se o prisma for mantido fixo e o telescópio for apontado nas direções MQ e NZ, será possível observar a imagem da fenda. Medindo-se o ângulo “a“, pode-se calcular geométricamente o ângulo α entre as faces polidas do prisma

Fig. 5 – Esquema geométrico para cálculo do ângulo do prisma.

II – Determinação do ângulo de desvio mínimo
Quando um raio luminoso incide sobre a superfície de um prisma, observamos o ângulo de desvio δ do raio emergente. Se observarmos o raio emergente, enquanto girarmos o prisma ao redor de um eixo e continuamente em uma direção, notamos que o ângulo de desvio decresce, atinge um mínimo e depois volta a crescer.

 .Fig. 6 – Esquema para observação do ângulo de desvio mínimo.

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5 – RESUMO DO ROTEIRO SUGERIDO Veja o resumo das atividades para este semestre
O prof. determinará os ítens a serem executados (Não esquecer de anotar o nº do prisma)
a) Alinhar a fenda de entrada de luz com a luneta de leitura, depois ajustar  o zero do Vernier  com a leitura L1 = 90o  (Fig. 8 para facilitar o espaço para as leituras)
b) Através da reflexão, medir o ângulo a entre as faces polidas do prisma e determinar o  ângulo α (Fig. 5).
c) Medir o ângulo de desvio mínimo do prisma para vários comprimentos de onda e fontes, mínimo 6 λs
d) Fazer o gráfico n λ .
e) Faça uma curva de calibração do  prisma (λδmin – Fig 3 )  baseada na fórmula de Cauchy e coloque no mesmo gráfico os pontos experimentais. Com essa informação, determine o λ de uma fonte desconhecida (LED)
 
f) Como o LED tem a luminosidade muito intensa, não é conveniente olhar diretamente na ocular. Usando um cartão para projetar a luz, pode-se deslocando a luneta móvel, determinar a posição de máxima intensidade  e fazer a leitura do ângulo correspondente.
 
g) Avaliar a propagação dos erros.

 

Tarefas de casa:
h) Faça um gráfico de n como função de 1/λ2 e, a partir dos coeficientes da reta ( n(λ) = A + B/λ2 ) que melhor se ajusta aos dados, determine os coeficientes de Cauchy.
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6 – BIBLIOGRAFIA
1 – Francis A. Jenkins and Harvey White, “Fundamental of Optics“, MacGraw Hill. (1976).
2 – John P. McKelvey and Howard Grotch, “Fisica 4 “, Harbra – Harper & Row do Brasil, São Paulo cap 24 (1981).
3 – G. R. Fowles, “Introduction to Modern Optics“, Holt, Rinehart and Winston, second edition, New York (1975).
4 – Hecht, Eugene, “Optics“. Adelphi University, Addison-Wesley Publishing Company (1990).
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7 – APÊNDICE
I) – O espectrômetro e seus componentes .

Fig. 7 – O Espectrômetro e seus componentes                                .         1 – Telescópio com fenda         2 – Telescópio colimador c/ ocular         3 – Parafuso de trava da luneta         4 – Parafuso de avanço fino da mesa   (Só funciona com o paraf. 5 apertado)         5 – Parafuso de trava da mesa         6 – Lupa p/ facilitar a leitura         7 – Parafuso de trava para aj. de alt. da mesa         8 – Parafuso para ajuste do foco do colimador         9 – Paraf. de ajuste da perpendic. da mesa         10 – Parafuso de avanço fino da luneta  (Só funciona com o paraf. 3  apertado)

 

Fig. 8 – Janela de leitura – Vernier

II) Fontes espectrais: Chamam-se fontes de linhas espectrais, as lâmpadas que emitem a maior parte de sua radiação em comprimentos de onda discretos, que correspondem às fortes características de emissão espectral dos átomos ou íons excitados das fontes.As fontes de linhas são usadas como padrões de comprimentos de onda para calibração de diversos equipamentos ópticos. .

TAB. I – Linhas espectrais mais intensas do HeFig. 9 – Linhas espectrais do He desviadas no prisma

verm.706.52 1000
verm.667.80 2500
amarel587.56 7500
verde501.60 500
verde/azul492.20 100
azul471.30 100
azul447.10 1000
violeta402.63 50

TAB. II – Linhas espectrais mais intensas do Hg.Fig. 10 – Linhas espectrais do Hg desviadas no prisma..

CORl (nm) INT.RELAT
amarel.578.01** 3000
verde546.07 3000
verde/azul491.60 50
azul435.84 700
violeta407.78 200
violeta404.66 600

.**Centro das duas linhas

.TAB. III – Linhas espectrais mais intensas do Cd.Fig. 16.11 – Linhas espectrais do Cd desviadas no prisma..

CORl (nm) INT.RELAT 
Azul441,24 400
Azul467,81 600
Azul479,99 750
Verde508,58 1000
Vermelho643,85 800

..TAB. IV – Linhas espectrais mais intensas do Na.

CORl (nm) INT.RELAT 
amarel589.29** 3000
verde568.82 800
azul454.51 750
azul449.76 800
azul442.32 700
azul439.33 750
azul432.46 600

.**Centro das duas linhas