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7 – Medida do λ de uma fonte usando um prisma calibrado

λ1 – INTRODUÇÃO
Para se projetar um sistema óptico constituído de lentes, é necessário conhecer-se    com   exatidão, o comportamento da luz ao atravessa-las, ou seja, é indispensável conhecer-se os índices de refração dos vários vidros formadores das lentes,  para alguns comprimentos de onda (l)  ao longo do espectro, onde seu sistema deverá operar (fig.1).

Fig.1 – Curva de dispersão dos vidros.

Se um feixe de luz policromático se propaga num meio material, a velocidade de propagação de cada onda que o compõe é diferente. Chama-se dispersão a variação da velocidade de propagação, portanto do índice de refração com o comprimento de onda (l) de cada componente do feixe.
A dispersão em cores da luz branca observada na fig.2 quando esta atravessa um prisma, é uma evidência direta da dependência de n, com o comprimento de onda (λ).
Considere o prisma da fig.2 e um raio de luz que incide com ângulo de incidência Θ. Utilizando a lei de Snell e relações trigonométricas simples, é fácil mostrar que este raio é desviado por um ângulo δ dado por

(1)

onde α é o ângulo de ápice e n o índice de refração do prisma. A expressão 1 é válida para qualquer ângulo de incidência. Atenção que o seno inverso que aparece em (1) coincide com o ângulo de emergência Φ. Pode-se mostrar que a

Fig.2 – Dispersão em cores da luz branca.

função d(Θ ) apresenta um mínimo quando Θ Φ .
Nesta condição se satisfaz a relação:

    (2).

A expressão 2 é utilizada geralmente para determinar n a partir de medidas de α δmin. Para isto, o prisma é montado sobre um goniômetro de precisão como ilustrado na fig.4.
A precisão dos goniômetros do laboratório é de ±1’ (também há no laboratório um goniômetro com precisão de ±1″). Para garantir essa precisão o aluno deve ter cuidado com erros de leitura por paralaxe. O erro de paralaxe pode ser minimizado posicionando o olho sempre na mesma posição angular em relação ao vernier (por exemplo, movendo a cabeça até que o olho, o risco do vernier e o eixo de giro do goniômetro estejam sempre alinhados).
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Espectrômetro de prisma.

        A principal aplicação dos prismas é para dispersar (separar) o espectro de uma fonte de luz. Quando devidamente calibrado, o prisma pode ser utilizado como o elemento dispersor de um espectrômetro com o qual podemos medir facilmente comprimentos de onda, embora com baixa resolução. Geralmente o prisma é orientado de modo que o ângulo de desvio é mínimo no centro do espectro visível (ou da região espectral de interesse). No que segue suporemos que d = dmin e eliminaremos da notação o subíndice “min”.
        Por “prisma calibrado” queremos dizer que conhecemos o ângulo de desvio como função do comprimento de onda, d = d(l). Para calibrar o prisma utilizamos uma lâmpada  de espectro discreto e conhecido, (veja tabelas no Apêndice II) medimos d para várias linhas espectrais (ls) e construímos uma curva de interpolação que nos permita predizer d  para outros valores de l, ou vice versa.   Em primeira aproximação a curva de interpolação pode ser uma simples reta:
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(3).

.onde a e b são os coeficientes da reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais.
        Para medidas mais precisas, a curva de interpolação pode ser melhorada utilizando polinômios de ajuste de ordem superior ou, melhor ainda, funções de ajuste baseadas em modelos mais realistas da dispersão do material do prisma. Nestes casos utilizamos a expressão (2) e uma fórmula para n(l) que pode ser a fórmula de Cauchy, de Sellmeier ou outra.

Fig.3 – Curva de calibração do prisma.

Por exemplo, no caso de utilizarmos a fórmula de Cauchy, n(l) = A + B/l2, ( onde A e B são os coeficientes da reta) obtemos, da eq. 2,
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(4).

No caso de utilizarmos a fórmula de Sellmeier

(5)

2 – Objetivos
1 – Analisar experimentalmente o uso do prisma como espectrômetro.
2 – Determinação do espectro luminoso (Curva de emissão) de um diodo Led (Fig 16.8)
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3 – PREPARAÇÃO SUGERIDA
1 – Demonstre as relações 1 e 2. (utilize o princípio de reversibilidade dos caminhos ópticos para deduzir a eq. 2).
2 – Supondo a = 60º e n = 1.58, simule no computador a função d = d(q). Para que valor de q é d = dmin? (isto lhe ajudará a ter uma idéia do ângulo q esperado).
3 – Se a = 60º e dmin= 46º16’ ± 1’, determine n e seu desvio, Dn. Quanto vale Dn se o erro em dminaumenta para ±3’? (idéia da precisão em medidas de n e a importância de medir bem dmin).
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4 – PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
a) Equipamento
Usando-se um ESPECTRÔMETRO, como o da fig.4 e fig.5,  uma fonte espectral de luz (He, Hg, Cd, etc.), e um prisma de vidro cujo tipo é desconhecido, é possível através da medida do ângulo de desvio mínimo para cada λ,  montar uma curva de calibração deste prisma ( ldmin – fig. 16.3), e através dela determinar o λ de uma fonte desconhecida, ou ainda o perfil  de emissão de alguma fonte não espectral.
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Fig.4 – Esquema óptico do equipamento.

Na fig.4 podemos observar pelo esquema óptico que o equipamento é constituído de um colimador com fenda S1, uma mesa giratória M, e uma luneta também presa a uma base giratória T.
A mesa tem uma escala dividida em graus, e uma escala em minutos. A largura da fenda é
ajustada por meio de um parafuso micrométrico (No laboratório ha uma foto explicativa da escala).
A luz da fonte S ilumina a fenda S1 colocada no plano focal da lente L1 ( O parafuso (1) permite fazer o ajuste do foco). Os raios paralelos emergentes do colimador incidem sobre o prisma e sofrem um desvio angular. A luz refratada é focalizada no plano FF’ e examinada com uma lente de aumento denominada ocular (Lo). Tanto a mesa giratória como a luneta, possuem uma trava. Para maiores detalhes veja Apêndice III.
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b) método
I – Determinação do ângulo de desvio mínimo
Caso haja necessidade de medir o ângulo de ápice do prisma, veja apêndice IV.
Quando um raio luminoso incide sobre a superfície de um prisma, observamos o ângulo de desvio d do raio emergente. Se observarmos o raio emergente, enquanto girarmos o prisma ao redor de um eixo e continuamente em uma direção, notamos que o ângulo de desvio decresce, atinge um mínimo e depois volta a crescer.
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.Fig.5 – Esquema para a obtenção de medidas.

II – Determinação da  curva de intensidade da luz emitida por um LED
Através de um detector montado no local da objetiva (espectrômetro), é possível medir a intensidade da luz recebida, e pelo ângulo que o espectrômetro mostra , é possivel saber qual o  l de emissão do mesmo.
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Fig.6 – Montagem do detetor no espectrômetro.

5 – RESUMO DO ROTEIRO SUGERIDO (Veja resumo das atividades para este semestre)
a) Alinhar a fenda de entrada de luz com a luneta de leitura, depois ajustar o “zero” da escala com o “zero” do Vernier (L1 = 0 (zero) Fig.6).
b) Medir o ângulo de desvio mínimo do prisma para vários comprimentos de onda de apenas uma fonte (depois de encontrado a posição de mínimo desvio, o prisma deve ficar prêso e parado – Veja configuração Fig.5). Com os dados obtidos faça a curva de calibração  do espectrômetro de prisma (Fig. 3    λ δmin)  baseada na fórmula de Cauchy e coloque no mesmo gráfico os pontos experimentais.
c) Com o detetor montado na ocular do espectrômetro (Fig.6), medir a emissão de um led,   (faça um gráfico da intensidade de luz detetada x δmin, semelhante à fig .7)  com os dados obtidos,  converta a curva para intensidade de luz detectada I x l, (como a fig.8 ).
d) Determine o λ nominal de emissão do LED (Não esqueça de anotar o número do LED, temos 12 cores diferentes)
e) Assumindo o ângulo do prisma 60o , calcule o índice de refração do vidro do prisma para tres côres (vermelho, verde , violeta)
e) Avaliar a propagação dos êrros.
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Obs. 1 – Muitos alunos tem cometido erros no cálculo do λ, devido a não observação correta da escala do equipamento.
Observe a posição do ” zero ” da escala do espectrômetro, o ângulo percorrido não será a simples diferença entre as leituras. Ex. L2 = 36o, L3 = 334oÞDq = 334o – 36o = 298o não esta correto !!! Dq = (360o – 334o) + 36o = 62o
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6 – BIBLIOGRAFIA
1 – Francis A. Jenkins and Harvey White, “Fundamental of Optics“, MacGraw Hill. (1976).
2 – John P. McKelvey and Howard Grotch, “Fisica 4 “, Harbra – Harper & Row do Brasil, São Paulo cap 24 (1981).
3 – G. R. Fowles, “Introduction to Modern Optics“, Holt, Rinehart and Winston, second edition, New York (1975).
4 – Hecht, Eugene, “Optics“. Adelphi University, Addison-Wesley Publishing Company (1990).
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7 – APÊNDICE
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I – Curva de emissão de um diodo LED vermelho

.ci_jeos@yahoo..co Fig. 7 – Curva típica de emissão de um LED em função do dminm.br . Fig. 8 – Curva típica de emissão de um LED em função do λ.

II) Fontes espectrais: Chamam-se fontes de linhas espectrais, as lâmpadas que emitem a maior parte de sua radiação em comprimentos de onda discretos, que correspondem às fortes características de emissão espectral dos átomos ou íons excitados das fontes.
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TAB. I – Linhas espectrais mais intensas do He.

COR l (nm) INT.RELAT
verm. 706.52 1000
verm. 667.80 2500
amarel 587.56 7500
verde 501.60 500
verde/azul 492.20 100
azul 471.30 100
azul 447.10 1000
violeta 402.63 50

TAB. II – Linhas espectrais mais intensas do Hg.

COR l (nm) INT.RELAT
amarel. 578.01** 3000
verde 546.07 3000
verde/azul 491.60 50
azul 435.84 700
violeta 407.78 200
violeta 404.66 600

.**Centro das duas linhas

TAB. III – Linhas espectrais mais intensas do Na.

COR l (nm) INT.RELAT 
amarel 589.29** 3000
verde 568.82 800
azul 454.51 750
azul 449.76 800
azul 442.32 700
azul 439.33 750
azul 432.46 600

.**Centro das duas linhas.TAB. IV – Linhas espectrais mais intensas   do Cd.

COR l (nm) INT.RELAT
Vermelho 643,85 800
Verde 508,58 1000
Azul 479,99 750
Azul 467,81 600
Azul 441,24 400

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As fontes de linhas são usadas como padrões de comprimentos de onda para calibração de diversos equipamentos ópticos.
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III) – O espectrômetro e seus componentes

Fig. 9 – O Espectrômetro e seus componentes                                .

        1 – Telescópio com fenda
       2 – Telescópio colimador c/ ocular
       3 – Parafuso de trava da luneta
       4 – Parafuso de avanço fino da mesa   (Só funciona com o paraf. 5 apertado)
       5 – Parafuso de trava da mesa
       6 – Lupa p/ facilitar a leitura
       7 – Parafuso de trava para aj. de alt. da mesa
       8 – Parafuso para ajuste do foco do colimador
       9 – Paraf. de ajuste da perpendic. da mesa
       10 – Parafuso de avanço fino da luneta  (Só funciona com o paraf. 3  apertado)
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IV – Como medir o Ângulo de ápice do prisma (caso necessário)

.Fig.10 – Arranjo para determinação do ângulo do prisma.

Analisar com cuidado, para através do ângulo medido “a” determinar numéricamente o ângulo a