O experimento que sugerimos é uma outra maneira de verificar a correção do conceito de movimento Browniano através de medidas de deslocamentos de partículas suspensas num meio aquoso. Usamos aqui uma diluição de leite em água de tal forma que possamos distinguir as partículas de gordura que colidem com as moléculas de água através de um microscópio óptico. No nosso caso temos uma câmara que transfere a imagem para o computador e temos como verificar a magnitude de escala por uma grade difração de 100 linhas por mm.
A teoria que correlacionam essas quantidades mensuráveis foram dadas por Einstein (Ann. Physik, 17, 549 (1905);19, 371 (1906) e por von Smoluchowski (Bull. Internat. Acad. Sci. Cracovie, 7, 577 (19006), mas vamos considerar uma derivação simples feita por Langevin ( Comptes Rendus, 146, 530 (1908).
Imagine uma caixa cúbica de dimensão L, com moléculas de gás se movendo aleatoriamente. Se uma molécula de massa m, movendo-se com velocidade u ao longo do eixo x tem uma colisão perfeitamente elástica com a parede, seu componente de velocidade nesta direção, simplesmente, reverte a o sentido a componente do momento é dado por:
[latex]mu\quad -\left( -mu \right) = 2mu[latex]
Na unidade de tempo a molécula percorre u e faz u/L colisões com as duas paredes opostas. Portanto a variação de momento por unidade de tempo é de 2mu²/L. Assim, a a taxa média da variação do momento na direção x para todas as moléculas é [latex]n{ L }^{ 3 }2m\overset { \_ \_ }{ { u }^{ 2 } }[latex], onde n é o número por unidade de volume, a barra sobre u² indica a velocidade média em x e L³ é o volume.
Mas, força é igual à taxa de variação do momento e esta expressão dá a força sobre as duas superfícies normais à direção x. Portanto, a pressão p sobre a uma superfície é a metade desta força dividida pela área L². Assim:
[latex]p = nm\overset { \_ \_ }{ { u }^{ 2 } } = 2n\left( \frac { m\overset { \_ \_ }{ { u }^{ 2 } } }{ 2 } \right) [latex]
mas a velocidade total c de qualquer molécula é a soma dos componentes u, v, w ao longo dos eixos x, y e Z. Assim:
[latex]{ c }^{ 2 }= { u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }+{ w }^{ 2 }[latex]
[latex]\overset { \_ \_ }{ { c }^{ 2 } } = \overset { \_ \_ }{ { u }^{ 2 } } +\overset { \_ \_ }{ { v }^{ 2 } } +\overset { \_ \_ }{ { w }^{ 2 } } [latex] podemos considerar [latex]\overset { \_ \_ }{ { c }^{ 2 } } = 3\overset { \_ \_ }{ { u }^{ 2 } } [latex]. Portanto:
[latex]p=\frac { 2 }{ 3 } n\left( \frac { m\overset { \_ \_ }{ { c }^{ 2 } } }{ 2 } \right) =\frac { 2 }{ 3 } E[latex]
onde E é a energia cinética contida por unidade de volume do gás.
Podemos comparar a expressão obtida com [latex]p=nkT[latex]
[latex]\\ \frac { m\overset { \_ \_ }{ { c }^{ 2 } } }{ 2 } =\frac { 3 }{ 2 } kT[latex]
Assim
[latex]\\ \frac { m\overset { \_ \_ }{ { u }^{ 2 } } }{ 2 } =\frac { m\overset { \_ \_ }{ { v }^{ 2 } } }{ 2 } =\frac { m\overset { \_ \_ }{ { w }^{ 2 } } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } kT [latex]
Vamos considerar qual deve ser a equação que descreve uma partícula em movimento Browniano. Se estimamos que ela está na direção x submetida a um desigual bombardeamento de moléculas de força X e supondo que seu movimento de dá em meio viscoso, cuja resistência ao movimento é proporcional à velocidade, com um coeficiente de viscosidade de F, podemos usar a segunda lei de Newton para modelar essa equação da seguinte forma:
[latex]m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-F\frac { dx }{ dt } +X[latex]
E se multiplicarmos essa equação por x temos que:
[latex]mx\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-F\frac { d }{ dt } \left( { x }^{ 2 } \right) +Xx[latex]
e lembrando que pela regra da cadeia:
[latex]x\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \frac { { d }^{ 2 } }{ d{ t }^{ 2 } } \left( { x }^{ 2 } \right) -{ \left( \frac { dx }{ dt } \right) }^{ 2 }[latex]
que multiplicando por m, temos:
[latex]mx\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } \left( { x }^{ 2 } \right) -{ m\left( \frac { dx }{ dt } \right) }^{ 2 }[latex]
Assim, obtemos a relação:
[latex]\frac { 1 }{ 2 } m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } \left( { x }^{ 2 } \right) -{ m\left( \frac { dx }{ dt } \right) }^{ 2 }=-\frac { F }{ 2 } \frac { d }{ dt } \left( { x }^{ 2 } \right) +Xx[latex]
Considerando que, ao longo do tempo, a média do segundo termo da esquerda é igual a kT pela dedução inicial e a média do segundo termo da direita é zero, pois X e x variam independentemente e então seu produto é frequentemente positivo ou negativo. Se
[latex]z=\frac { d }{ dt } \left( \overset { \_ \_ }{ { x }^{ 2 } } \right) [latex] Então:
[latex]\frac { m }{ 2 } \frac { { d }z }{ d{ t } } -{ kT }=-\frac { F }{ 2 } z [latex]
Separando as variáveis, temos:
[latex]\frac { dz }{ z-\frac { 2kT }{ F } } =-\frac { F }{ m } dt[latex]
E integrando de zero a z e de zero a t respectivamente, obtemos a expressão:
[latex]{ \left[ log\left( z-\frac { 2kT }{ F } \right) \right] }_{ 0 }^{ z }=-\frac { F }{ m } { \left[ t \right] }_{ 0 }^{ t }[latex]
[latex]log\left( z-\frac { 2kT }{ F } \right) -\quad log\left( -\frac { 2kT }{ F } \right) =-\frac { F }{ m } t[latex]
[latex]z=\frac { 2kT }{ F } \left( 1-{ e }^{ -\frac { F }{ m } t } \right) [latex]
Ocorre que F é dado pela lei de Stokes,
A lei de Stokes pode ser escrita da seguinte forma: Fav = – Fv
- onde: Fav é a força de atrito viscoso, v é a velocidade da partícula. o sinal negativo indica que é uma força contrária ao movimento
- F é o fator de Stokes, F= 6πrη
- r é o raio médio estimado da partícula,
- η é a viscosidade do fluido,
se estimarmos r em torno de 10-4 cm e η= 10-2 , m ∼ 50,0 10-15 gramas, temos F/m ≅106
Desta forma o termo exponencial é desprezível para tempos maiores que 10-5 segundos
[latex]z=\frac { d }{ dt } \overset { \_ \_ }{ { x }^{ 2 } } =\frac { 2kT }{ F } [latex]
Portanto num intervalo de tempo τ o deslocamento quadrático médio é dado por:
[latex]\overset { \_ \_ }{ { x }^{ 2 } } =\frac { 2kT }{ F } \tau[latex]
[latex]\overset { \_ \_ }{ { x }^{ 2 } } =\frac { kT }{ 3\pi \eta r } \tau [latex]
