Estrutura das aulas de F-415 (1.o sem. de 2017)

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Capítulo 8 (4 aulas) (Notas de aula)
 
02/03 - Introdução. Definição de forças centrais. Centro de massa e coordenada relativa. Massa reduzida. Desacoplamento das dinâmicas do centro de massa e da coordenada relativa. Conservação do momento linear total. Pas des deux (Norman McLaren).
 
07/03 - Conservação do momento angular. Segunda lei de Kepler (lei das áreas). Conservação da energia.Redução do problema de forças centrais a quadraturas. Potencial efetivo. Análise qualitativa dos movimentos possíveis. Trajetórias compactas fechadas e abertas. A descoberta de Netuno. A precessão do periélio de Mercúrio e o "planeta" Vulcan. A procura pelo Planeta X (ver também aqui e aqui).
 
09/03 - Órbitas abertas e fechadas. Equação da trajetória. Exemplo. O problema de Kepler. 1a. e 3a. leis de Kepler.
 
14/03 - Exemplos. Precessão do periélio. Estabilidade de órbitas circulares.
 

Capítulo 9 (4 aulas) (Notas de aula)

16/03 - Espalhamento de Rutherford. Sistemas de muitas partículas: conservação do momento linear, centro de massa. Exemplo de cálculo de centro de massa. Teorema geral sobre a conservação do momento angular.

O que acontece com a conservação de momento linear ou angular quando a 3a. lei de Newton não é válida, como em algumas situações em eletrodinâmica? Nesses casos, é necessário incluir o momento linear ou angular dos campos eletromagnéticos. Veja aqui um exemplo resolvido. 

O efeito Einstein-de Haas-Richardson: sua história; sua versão quântica.

21/03 - Conservação da energia mecânica de um sistema conservativo. Expressões úteis para o momento angular e a energia cinética totais de um sistema de partículas. Colisões elásticas de duas partículas: referencial do laboratório.

23/03 - Colisões elásticas de duas partículas: referencial do centro de massa. Transformações entre o referencial do laboratório e o do centro de massa. Colisões inelásticas. Coeficiente de restituição. Exemplo. Parâmetro de impacto. Definição de seção de choque e relação com o parâmetro de impacto.

Artigo sobre o coeficiente de restituição.

28/03 - Seção de choque no espalhamento de Rutherford. Seção de choque no referencial do centro de massa e no de laboratório. Expressão geral para potenciais centrais. Exemplo da corda em queda a partir do repouso no topo de uma mesa sem atrito. Ver links na página principal da disciplina relacionados com o exemplo da corda. 

Slinky drop: video, explicação.

Capítulo 10 (2 aulas) (Notas de aula)

30/03 - Sistemas de referência não-inerciais: sistemas com movimento translacional; sistemas com movimento rotacional. Forças não-inerciais ou fictícias. Força centrífuga e força de Coriolis. Efeitos da rotação da Terra: gravidade aparente, efeito da força de Coriolis sobre o deslocamento de grandes massas de ar. Sobre o efeito desprezível da força de Coriolis no vórtice de escoamento de ralos (o chamado "Bathtub vortex"): experimento que mostrou que o efeito pode ser observado se enorme cuidado é tomado para eliminar outras influências. Como o artigo é pago, veja aqui comentário sobre o artigo.

04/04 - Sistemas de referência não-inerciais: o pêndulo de Foucault. Texto de Umberto Eco sobre o Pêndulo de Foucault: em inglês e em português. Videos do pêndulo de Foucault: no Museu de Ciências e Indústria de Chicago; numa demonstração de laboratório. O pêndulo de Foucault da UERJ.

Capítulo 11 (7 aulas) (Notas de aula)

06/06 - Dinâmica de corpos rígidos: definição de corpos rígidos; descrição espacial de um corpo rígido; o tensor de inércia e sua relação com o momento angular e a energia cinética de rotação; teorema dos eixos paralelos; exemplos.

11/04 - Dinâmica de corpos rígidos: propriedades de transformação sob rotações de vetores e tensores; eixos principais, diagonalização do tensor de inércia e equação secular. Exemplo.

13/04 - Feriado.

18/04 - Prova 1 (Caps. 8, 9 e 10).

20/04 - Dinâmica de corpos rígidos: provas de que os auto-valores do tensor de inércia são reais e que os auto-vetores de auto-valores diferentes são ortogonais; matriz de transformação para o sistema de eixos principais; propriedades de simetria do tensor de inércia. Equações de Euler. Equilíbrio (balanceamento) dinâmico.

25/04 - Dinâmica de corpos rígidos: rotações livres de corpos simétricos; cone do corpo e cone espacial. Prova da expressão da taxa com que a velocidade angular gira em torno do momento angular. Análise de estabilidade de rotações livres de corpos completamente assimétricos ("Teorema do controle remoto"). Construção de Binet. 

Esse app (requer Flash) simula a rotação (livre ou forçada) de um corpo rígido.

Esse video mostra a rotação livre de torques de um livro na Estação Espacial Internacional. O livro tem os três momentos de inércia principais diferentes entre si, como um controle remoto. O video mostra como as rotações em torno dos momentos de inércia máximo ou mínimo são estáveis, enquanto a rotação em torno do momento de inércia intermediário é instável ("Teorema do controle remoto"). Nas páginas 26-28 desse documento, você pode visualizar o mesmo efeito. Outro video aqui.

Sobre o Chandler Wobble (rotação livre da Terra): Wikipedia, video.

Considerações sobre as medidas de tempo na página do astrônomo Kepler de Oliveira.

27/04 - Dinâmica de corpos rígidos: Ângulos de Euler, energia cinética de rotação em termos dos ângulos de Euler; o pião simétrico: sua Lagrangiana, constantes do movimento, potencial efetivo. Discussão qualitativa da precessão regular e da nutação.

02/05 - Dinâmica de corpos rígidos: o pião simétrico, potencial efetivo, precessão regular, nutação, o pião dormente. Video demonstrando algumas propriedades de giroscópios, que nada mais são que piões simétricos.

04/05 - Dinâmica de corpos rígidos: a precessão dos equinócios. Veja aqui (ou aqui) um filme da abóbada celeste (sul) durante uma noite. Tente achar a posição do polo celestial sul. Para o céu do norte, veja aqui

Capítulo 12 (4 aulas) (Notas de aula)

09/05 - Pequenas oscilações: análise qualitativa do caso de dois pêndulos acoplados (através desse applet), movimento genérico com batimentos, movimentos particulares com freqüência única (modos normais); análise quantitativa de um sistema de duas massas acopladas por molas entre si e a paredes fixas, modos normais, solução geral; generalização para o caso com n graus de liberdade, ponto de equilíbrio estável, Lagrangiana na aproximação quadrática (harmônica).

Alguns apps com demonstrações de oscilações acopladas:

(a) dois pêndulos acoplados por uma mola;

(b) n massas acopladas.

11/05 - Pequenas oscilações: caso geral com n graus de liberdade, ortonormalidade generalizada dos modos normais, transformação entre as coordenadas originais e as variáveis normais, expressão da Lagrangiana em termos dos modos normais desacoplados, solução geral do problema.

16/05 - Pequenas oscilações: a molécula triatômica linear (Espectro de absorção no infravermelho do CO2, mostrando os modos de vibração da molécula), o pêndulo triplo simetricamente acoplado.

18/05 - Pequenas oscilações: corda esticada com massas, equações do movimento transversal, solução geral do problema da corda esticada com massas. Exemplo. Ver applet que ilustra o problema da corda esticada com massas (você pode modificar o número de massas deslizando a barra em "number of loads"). Aplique várias condições iniciais diferentes e observe as mudanças nas amplitudes dos modos excitados ("Normal modes: magnitudes"). Note que o movimento é horizontal, não vertical. Mas as equações de movimento e, consequentemente, os modos normais são os mesmos.

Capítulo 13 (3 aulas) (Notas de aula)

23/05 - Sistemas contínuos: a corda como limite de um sistema discreto de massas; a equação de onda, modos normais e exemplo, solução geral da equação de onda para a corda infinita.

25/05 - Sistemas contínuos: exemplos da solução geral da equação de onda para a corda infinita; energia da onda e dos modos normais; dissipação e força externa, solução geral; exemplo.

30/05 - Sistemas contínuos: Velocidade de grupo e velocidade de fase. Video ilustrando a diferença entre velocidades de grupo e de fase. Exemplo de sistema de oscilações acopladas.

Capítulo 14 (4 aulas) (Notas de aula)

01/06 - Relatividade especial: transformações de Galileu e covariância da mecânica newtoniana sob elas; os postulados de Einstein e as transformações de Lorentz. Relatividade da simultaneidade, contração de Fitzgerald-Lorentz e dilatação temporal.

(1) Artigo que demonstra a linearidade das transformações de Lorentz a partir da homogeneidade do espaço-tempo.

(2) Artigo que mostra a derivação das transformações das velocidades (a chamada lei de adição das velocidades) a partir dos dois postulados de Einstein da Relatividade Restrita (sendo que o segundo é modificado de forma a não fazer menção à velocidade da luz, mas sim à existência de uma velocidade limite).

(3) Artigo que mostra que, com os resultados do artigo anterior, as transformações de Lorentz para as coordenadas podem ser facilmente deduzidas.

(4) Este verbete da Wikipedia considera a questão da derivação das transformações de Lorentz. Em particular, chamo a atenção para a derivação que usa apenas as chamadas propriedades de grupo das transformações. Neste caso, (a) derivam-se duas classes de transformações compatíveis com as propriedades de grupo: as de Galileu (κ=0) e as de Lorentz (κ=-1/c2); (b) o segundo postulado pode ser usado para justificar a segunda classe.

(5) Finalmente, pode-se derivar o chamado grupo de Lorentz como sendo o conjunto de todas as transformações lineares de deixam a combinação c2t2 - x2 - y2- z2 invariante (ver, por exemplo, Classical Electrodynamics, J. D. Jackson, Wiley, 3a. Edição, 1999, Seção 11.7). As transformações de Lorentz formam um sub-grupo do grupo de Lorentz, assim como as rotações espaciais.

(6) Dilatação temporal: comprovação experimental com velocidades baixas ( ~ 10 m/s).

06/06 - Prova 2 (Caps. 11 e 12).

08/06 - Relatividade especial: quadrivetores; intervalo invariante, causalidade; espaço e diagrama de Minkowski; tempo próprio; adição de velocidades relativística; quadri-velocidade; quadri-vetor de onda.

13/06 - Relatividade especial: Efeito Doppler da luz; dinâmica relativística. Problemas resolvidos.

15/06 - Feriado.

20/06 - Relatividade especial: Lagrangiana de uma partícula relativística. Problemas resolvidos.

22/06 - Não haverá aula.

27/06 - Prova 3 (Caps. 13 e 14).

 

11/07 - Exame final.

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