Estrutura de aulas de FI-193 (1o. sem. de 2025)

Fevereiro:

25 – Estrutura do curso; Introdução (Notas). ATENÇÃO: NAS NOTAS DE AULA SOBRE AS EXCITAÇÕES ELEMENTARES DE ³He, A FAIXA DE TEMPERATURAS DE INTERESSE É DE CERCA DE 3 mK A 300 mK. 

Alguns artigos gerais interessantes:

• Epluribus boojum: the physicist as neologist, N. David Mermin, Physics Today, abril de 1981. 
• More is different, Philip W. Anderson, Science 177, 393 (1972).
• When the electron falls apart, Philip W. Anderson, Physics Today, outubro de 1997.
• Emergence, reductionism and the seamless web: when and why is science right, Philip W. Anderson, Current Science 78, No. 6, 673, (2000).
• A emergência na física da matéria condensada e as quebras espontâneas de simetria, E. Miranda, Ciência e Cultura, vol. 65, n. 4, pp. 32-35 (2013).

Notas de segunda quantização

27 – Gás uniforme de elétrons (“Jellium model”) (Notas) – Fetter & Walecka, Cap. 1, Sec. 3; E. Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 (1934) e Trans. Faraday Soc. 34, 678 (1938);

Alguns resultados numéricos:

Em 3D – D. M. Ceperley and B. J. Alder, Phys. Rev. Lett. 45, 566 (1980); F. H. Zong, C. Lin, and D. M. Ceperley Phys. Rev. E 66, 036703 (2002); N. D. Drummond, Z. Radnai, J. R. Trail, M. D. Towler, and R. J. Needs, Phys. Rev. B 69, 085116 (2004); J. Sun, J. P. Perdew, and M. Seidl, Phys. Rev. B 81, 085123 (2010); S. Azadi and N. D. Drummond, Phys. Rev. B 105, 245135 (2022)(**); S. Azadi, N. D. Drummond, and S. M. Vinko, Phys. Rev. B 107, L121105 (2023) e Phys. Rev. B 108, 115134 (2023).  A referência (**) acima, a mais atualizada para o diagrama de fases, não encontra nenhuma região de líquido de Fermi polarizado, apenas uma transição direta (de primeira ordem) entre o líquido não polarizado e o cristal bcc (AFM ou FM é impossível saber com as precisões alcançadas) em r_s=86.6.

Em 2D – B. Tanatar and D. M. Ceperley, Phys. Rev. B 39, 5005 (1989); B. Bernu, Ladir Cândido, and D. M. Ceperley Phys. Rev. Lett. 86, 870 (2001); Varsano et al., Europhys. Lett. 53, 348 (2001); N. D. Drummond and R. J. Needs, Phys. Rev. Lett. 102, 126402 (2009); S. Azadi, N. D. Drummond, and S. M. Vinko, Phys. Rev B 110, 245145 (2024). A última referência, mais atualizada, não encontra nenhuma região de líquido de Fermi polarizado, apenas uma transição direta (de primeira ordem) entre o líquido não polarizado e o cristal triangular AFM em r_s=35 e outra entre o cristal AFM e o FM em r_s=38.

Alguns resultados experimentais em 2D:

Jongsoo Yoon, C. C. Li, D. Shahar, D. C. Tsui, and M. Shayegan Phys. Rev. Lett. 82, 1744 (1999); Cristal de Wigner em superfície de Hélio líquido; P. Glasson et al., Phys. Rev. Lett. 87, 176802 (2001); J. Falson, I. Sodemann, B. Skinner, D. Tabrea, Y. Kozuka, A. Tsukazaki, M. Kawasaki, K. von Klitzing, and J. H. Smet, Nat. Mat. 21, 311 (2022).

Março:

04 – Feriado.

06 – Gás diluído de férmions com interação de curto alcance (Notas) – Landau, Statistical Physics, Part 2, Sec. 6;

A. G. Truscott et al., Science 291, 2570 (2001).

Medidas da compressibilidade de um gás fermiônico ultra-frio: Ye-Ryoung Lee, et al. Phys. Rev A 85, 063615 (2012).

Primeira observação de superfluidez em sistemas de férmions ultra-frios: C. A. Regal, M. Greiner, and D. S. Jin, Phys. Rev. Lett. 92, 040403 (2004).

11 – Gás diluído de bósons com interação de curto alcance (Notas) – Fetter & Walecka, Cap. 10, Sec. 35 e Landau, Statistical Physics, Part 2, Sec. 25. Para a transformação de Bogoliubov em termos de um operador unitário, veja a pag. 33 desse artigo.

Um dos papers originais: K. A. Brueckner and K. Sawada, Phys. Rev. 106, 1117 (1957).

Sobre as bases matemáticas do método de Bogoliubov (denso): Justification of c-Number Substitutions in Bosonic Hamiltonians, Elliott H. Lieb, Robert Seiringer, and Jakob Yngvason, Phys. Rev. Lett. 94, 080401 (2005);

Bose-Einstein condensation and gauge symmetry breaking, V.I. Yukalov, Laser Phys. Lett. 4, 632 (2007).

Revisões de BEC em sistemas de átomos armadilhados: Bose-Einstein Condensation of Trapped Atomic Gases, Ph. W. Courteille, V. S. Bagnato, V. I. Yukalov, arxiv:cond-mat/0109421; Bose-Einstein condensates in atomic gases: simple theoretical results, Yvan Castin, arxiv:cond-mat/0105058; Crossover from Bardeen-Cooper-Schrieffer to Bose-Einstein Condensation and the Unitary Fermi Gas, Mohit Randeria and Edward Taylor, Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 5, 209 (2014).

Teoria de Feynman para o espectro de excitações de ⁴He: Atomic Theory of the Two-Fluid Model of Liquid Helium, R. P. Feynman, Phys. Rev. 94, 262 (1954).

13 – Gás diluído de bósons com interação de curto alcance (Notas) – Fim. 

A fração do condensado a temperatura zero é estimada teoricamente como sendo f₀ = 0.069 (S. Moroni and M. Boninsegni, J. Low Temp. Phys. 136, 129 (2004)), o que compara razoavelmente com experimentos (f₀ = 0.0725; H. R. Glyde, R. T. Azuah, and W. G. Stirling, Phys. Rev. B 62, 14337 (2000)). 

18 – Modelo de Hubbard (Notas)

Paper original (“Hubbard I”): J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A 276 238 (1963). Outros papers de Hubbard: (“Hubbard II”) J. Hubbard, Proc. R. Soc. (London) A 277, 237 (1964), (“Hubbard III”) J. Hubbard, Proc. R. Soc. (London) A 281, 401 (1964);

Teoria de Brinkman e Rice: (aproximação de Gutzwiller) M. C. Gutzwiller, Phys. Rev. 137, A1726 (1965); W. F. Brinkman and T. M. Rice, Phys. Rev. B 2, 4302 (1970);

Teoria dinâmica de campo médio (revisão): A. Georges et al., Rev. Mod. Phys. 68, 13 (1996).

Solução do modelo de Hubbard unidimensional: Elliott H. Lieb and F. Y. Wu, Phys. Rev. Lett. 20, 1445 (1968).

Redes ópticas: Ultracold quantum gases in optical lattices, Immanuel Bloch, Nature Phys. 1, 23 (2005).

Modelo de Bose-Hubbard: Cold Bosonic Atoms in Optical Lattices, D. Jaksch, C. Bruder, J. I. Cirac, C. W. Gardiner, and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 81, 3108 (1998).

Transição superfluido-isolante de Mott: (teoria) Boson localization and the superfluid-insulator transition, M. P. A. Fisher, P. B. Weichman, G. Grinstein, and D. S. Fisher, Phys. Rev. B 40, 546 (1989); (experimento) Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms, Markus Greiner et al., Nature 415, 39 (2002).

20 – Modelo de Hubbard (fim). Modelo de Heisenberg (Notas)

Super-exchange versus exchange direto, paper original: P. W. Anderson, Phys. Rev. 115, 2 (1959); paper de revisão: P. W. Anderson, in Solid State Physics, Ed. F. Seitz and D. Turnbull, Vol. 14, p. 99 (1963).

O Ansatz de Bethe: Uma exposição tutorial em 3 partes da solução do modelo de Heisenberg unidimensional (Ansatz de Bethe): arXiv:cond-mat/9809162, arXiv:cond-mat/9809163, arXiv:cond-mat/0008018.

Magnetismo frustrado: Artigo de revisão sobre líquidos de spin: Spin liquids in frustrated magnets, L. Balents, Nature 464, 199 (2010); Evidência numérica para um líquido de spin na rede de Kagomé com S=1/2: Spin-Liquid Ground State of the S = 1/2 Kagome Heisenberg Antiferromagnet, Simeng Yan, David A. Huse, and Steven R. White, Science 332, 1173 (2011); Calor específico e condutividade térmica de um candidato a líquido de spin quântico [κ-(BEDT-TTT)₂Cu₂(CN)₃].

25 – Teoria de ondas de spin (Notas) J. M. Ziman, Theory of Solids, Secs. 10.11 e 10.12 (Cambridge, 1972).

Ondas de spin antiferromagnéticas: P. W. Anderson, Phys. Rev. 86, 694 (1952); P. W. Anderson, in Solid State Physics, Ed. F. Seitz and D. Turnbull, Vol. 14, p. 99 (1963).

Ondas de spin em La₂CuO₄: R. Coldea et al., Phys. Rev. Lett. 86, 5377 (2001).

Teorema de Mermin-Wagner-Hohenberg: Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models, N. D. Mermin and H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17, 1133 (1966); Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions, P. C. Hohenberg, Phys. Rev. 158, 383 (1967). 

27 – Considerações gerais sobre quebra espontânea de simetria e ordem de longo alcance (Notas) – Um artigo de revisão muito bom sobre os assuntos dessa aula é An introduction to spontaneous symmetry breaking, Aron J. Beekman, Louk Rademaker, and Jasper van Wezel, SciPost Phys. Lect. Notes 11 (2019). 

Outras referências: Negele & Orland, Cap. 4; Landau, Statistical Physics, Part 1, especialmente as Secs. 142-144 e 146; P. W. Anderson, Basic Notions of Condensed Matter Physics, Cap. 2, Secs. A a C; G. Parisi, Statistical Field Theory, Sec. 2.2.

Artigo original sobre ondas de spin em AFMs, com uma discussão pioneira ao final sobre aspectos da Quebra Espontânea de Simetria: P. W. Anderson, Phys. Rev. 86, 694 (1952)

Spontaneous symmetry breaking in quantum frustrated antiferromagnets, P. Azaria, B. Delamotte, and D. Mouhanna, Phys. Rev. Lett. 70, 2483 (1993).

Mermin-Wagner-Hohenberg theorem: N. D. Mermin and H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17, 1133 (1966); P. C. Hohenberg, Phys. Rev.158, 383 (1967).

Uma revisão bastante acessível: Axel Gelfert and Wolfgang Nolting, J. Phys.: Condens. Matter 13, R505 (2001).

Teorema de Lieb-Mattis: E. Lieb and D. Mattis, J. Math. Phys. 3, 749 (1962).

A existência de ordem antiferromagnética de longo alcance no modelo de Heisenberg 2D foi provada para S≥1 em E. Jordão Neves, J. Fernando Perez, Phys. Lett. 114 A, 331 (1986) (que continha um erro que foi corrigido no Apêndice A de Ian Affleck, Tom Kennedy, Elliott H. Lieb, and Hal Tasaki, Commun. Math. Phys. 115, 477 (1988)).

“Off-diagonal long-range order”: O. Penrose, Phil. Mag. 42, 1373 (1951); O. Penrose e L. Onsager, Phys. Rev. 104, 576 (1956); C. N. Yang, Rev. Mod. Phys. 34, 694 (1962).

Abril:

01 – Modelo de impureza única de Anderson (Notas) – Mahan, Sec. 4.2 (modelo de Fano).

P. W. Anderson, Phys. Rev. 124, 41 (1961);

Revisões gerais: P. W. Anderson, Comments Solid State Phys. 1, 31 (1968); id. 1, 190 (1969); id. 3, 153 (1971); id. 5, 73 (1973). P. Coleman, arXiv:cond-mat/0612006v3 (essa vai além dos modelos de Anderson e Kondo).

03 – Modelo de Kondo . 

J. Kondo, Prog. Theoret. Phys. 32, 37 (1964);

J. R. Schrieffer and P. A. Wolff, Phys. Rev. 149, 491 (1966);

08 – Definição e propriedades gerais de funções de Green a T = 0 (Notas) – Fetter & Walecka, Sec. 7; Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 2, Sec. 7.

10 – Representação de Lehmann (Notas) – Fetter & Walecka, Sec. 7; Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 2, Sec. 8.

Revisão sobre a técnica de espectroscopia de fotoemissão: Angle-resolved photoemission studies of the cuprate superconductors, Andrea Damascelli, Zahid Hussain, and Zhi-Xun Shen, Rev. Mod. Phys. 75, 473 (2003).

15 – Teoria de Perturbação (Notas): Versão de interação. Expressão perturbativa para o operador evolução temporal na versão de interação. Teorema de Gell-Mann-Low – Fetter & Walecka, Sec. 6; Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 2, Sec. 12.

Prova do teorema de Gell-Mann-Low que não se utiliza da expansão perturbativa, mas foca na equação diferencial do operador evolução temporal: J. Math. Phys. 48, 052113 (2007).

Um exemplo pedagógico do teorema de GML em ação para um sistema de dois níveis. Em particular, a sutileza do limite “adiabático” e as dificuldades associadas a estados degenerados são ilustrados: Phys. Rev. A 78, 042102 (2008).

Algumas considerações que sugerem que a série perturbativa de uma teoria de muitos corpos é geralmente uma série assintótica (veja aqui para ressomação de Borel), ou seja, uma séria divergente mas que para interações fracas ainda assim fornece resultados úteis: Divergence of Perturbation Theory in Quantum Electrodynamics, F. J. Dyson, Phys. Rev. 85, 631 (1952).

Outro paper discutindo falhas de teorias perturbativas: Breakdown of Traditional Many-Body Theories for Correlated Electrons, O. Gunnarsson, G. Rohringer, T. Schäfer, G. Sangiovanni, and A. Toschi, Phys. Rev. Lett. 119, 056402 (2017).

17 – Feriado.

22 – Teoria de Perturbação (II) (Notas): Expansão perturbativa da função de Green de um corpo a T=0. Teorema de Wick. Diagramas de Feynman – Fetter & Walecka, Secs. 8 e 9; Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 2, Sec. 13.

24 – Teoria de Perturbação (III) (Notas): Diagramas de Feynman (fim). Regras dos diagramas de Feynman no espaço real. Formalismo no espaço de Fourier. – F & W, Secs. 8 e 9; Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 2, Sec. 13.

29 – Teoria de Perturbação (IV) (Notas): Exemplo de cálculo de integrais sobre frequências. Auto-energia e equação de Dyson. Inserção de polarização – F & W, Sec. 9 e notas de aula; Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 2, Sec. 14.

Maio:

01 – Feriado.

06 – Não haverá aula.

08 – Não haverá aula.

13 – Interpretação física da função de Green. Conceito de quase-partículas: meia-vida e resíduo de quase-partículas. Teoria dos líquidos de Fermi. Teorema de Luttinger – F & W, Sec. 9 e notas de aula; Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 2, Sec. 14.

Teorema de Luttinger: J. M. Luttinger, Phys. Rev. 119, 1153 (1960).

15 – Algumas aproximações (Notas): Hartree-Fock (F & W, Sec. 10) e RPA (F & W, Secs. 12 e 30).

Refs. para RPA: D. Bohm e D. Pines, Phys. Rev. 92, 609 (1953); D. Pines, Phys. Rev. 92, 626 (1953); M. Gell-Mann e K. A. Brueckner, Phys. Rev. 106, 364 (1957); J. J. Quinn, R. A. Ferrell, Phys. Rev. 112, 812 (1958).

Livro sobre o gás de elétrons: Quantum theory of the electron liquid, Gabriele Giuliani, Giovanni Vignale, Cambridge University Press, 2005.

Função de Lindhard: Henrik Smith, Phys. Scr. 28, 287 (1983).

20 – EOSBF 2025. Não haverá aula.

22 – EOSBF 2025. Não haverá aula.

27 – Teoria de resposta linear (Notas): Formulação geral – F & W, Secs. 13 e 14. Exemplo de uma carga estática num gás de elétrons (início).

29 – Exemplo de uma carga estática num gás de elétrons (fim). Oscilações de Friedel. – F & W, Secs. 15 e 16.

Refs. para oscilações de Friedel: J. Friedel, Phil. Mag. 43, 153 (1952) e Nuovo Cimento Suppl. 7, 287 (1958); M. A. Ruderman and C. Kittel, Phys. Rev. 96, 99 (1954); T. Kasuya, Progr. Theoret. Phys. 16, 45 (1956); K. Yosida, Phys. Rev. 106, 893 (1957).

Observação experimental de oscilações de Friedel: (i) na superfície de Be: P. T. Sprunger, L. Petersen, E. W. Plummer, E. Lægsgaard, F. Besenbacher, Science 275, 1764 (1997); (ii) em currais quânticos: F. Crommie, C. P. Lutz, D. M. Eigler, Science 262, 218 (1993).

Junho:

03 – Modos coletivos no gás de elétrons (Notas) – F & W, Secs. 15 e 16.

Ref. para observações experimentais do som zero em ³He: W. R. Abel, A. C. Anderson, and J. C. Wheatley, Phys. Rev. Lett. 17, 74 (1966).

05 – Teoria de perturbação a temperatura finita (I) (Notas) – F & W, Secs. 24 a 26.

A tarefa de fazer a continuação analítica da função de Green de Matsubara para sua versão retardada ou avançada (ou qualquer outra) é um problema de grande interesse em aplicações numéricas. Um método para realizar a tarefa muito usado é o método da entropia máxima (“MaxEnt”). Aqui, uma referência para o assunto. Uma referência mais geral sobre MaxEnt pode ser encontrada aqui.

10 – Teoria de perturbação a temperatura finita (II) (Notas) – F & W, Secs. 24 a 26.

12 – Teoria de perturbação a temperatura finita (fim) (Notas) – F & W, Secs. 24 a 26. Resposta linear a temperatura finita. 

17 – Fônons (Notas) – Solid State Physics, N. W. Aschcroft & N. D. Mermin, (Harcourt, 1976) caps. 22 e 23; F & W, Secs. 44 a 47. Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 3, Sec. 24 e Cap. 6, Secs. 64 e 65. AGD, Sec. 7.1.

19 – Feriado.

24 – Interação elétron-fônon (fim) (Notas) – Solid State Physics, N. W. Aschcroft & N. D. Mermin, (Harcourt, 1976) caps. 22 e 23; F & W, Secs. 44 a 47. Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 3, Sec. 24 e Cap. 6, Secs. 64 e 65. AGD, Sec. 7.1.

26 – Instabilidade de Cooper de um sistema fermiônico com interação atrativa (Notas) – Mahan, Sec. 9.1. AGD, Sec. 33.1. 

Julho:

01 – Supercondutividade: Teoria BCS (Notas) – F & W, Sec. 51. Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 5, Secs. 39, 40 e 43.

03 – Supercondutividade: Teoria BCS (fim). Explicação microscópica do Efeito Meissner (Notas) – F & W, Sec. 51. Landau, Statistical Physics, Part 2, Cap. 5, Secs. 39, 40 e 43.

Paper original: J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957).