O objetivo principal do curso de Caos em Sistema Hamiltonianos é mostrar que a maioria dos sistemas dinâmicos apresentam comportamento caótico em alguma região do seu espaço de estados. Caos aparece como consequência natural da não integrabilidade das equações diferenciais de Hamilton para sistemas com mais de um grau de liberdade. A integrabilidade, condição para comportamento regular, é rara, de medida zero. Neste curso estudaremos inicialmente os sistemas Hamiltonianos integráveis, com ênfase no Teorema de Arnold-Liouville. Desevolveremos então a teoria de perturbação canônica e trataremos a não integrabilidade perturbativamente, mostrando como regiões fractais de movimento caótico infiltram-se pelo espaço de fases levando gradativamente a uma total imprevisibilidade do movimento. Os tópicos a serem estudados são:
- Equações de Lagrange e e Hamilton
- Tranformações canônicas
- Os teoremas de Liouville e Poincaré
- O teorema de integrabilidade de Arnold-Liouville
- Teoria de perturbação e o Teorema KAM
- Aplicações: falhas nos anéis de Saturno e no cinturão de asteróides
- O Teorema de Poincaré-Birkhoff
- Caos: emaranhados homoclínicos e o Mapa da Ferradura de Smale.
Livros de Apoio:
Classical mechanics; H. Goldstein
The variational principles of mechanics; C. Lancsos
Mathematical Methods of Classical Mechanics; V.I. Arnold
Regular and stochastic motion; A.J. Lichtenberg e M.A. Lieberman
Chaos in dynamical systems; E. Ott
Chaos in classical and quantum mechanics; M. Gutzwiller Notas de Aula na Biblioteca
