Notas de aula de Mecânica Quântica I – Marcus A.M. de Aguiar – 17/11/99
A transformação de coordenadas cartezianas para esféricas é dada por
e a transformação inversa é
Em coordenadas cartezianas os operadores de momento angular são dados por:
Para ilustrar o calculo desses operadores em coordenadas esféricas faremos o caso Lz. As derivadas /x e /y são escritas como:
e
As derivadas das coordenadas esféricas em relação às cartezianas pode ser obtida derivandos implicitamente ambos os lados das equações 2 em relação á x, y ou z:
Fazendo o mesmo processo com as derivadas em relação à y obtemos
Voltando à equação 3 para Lz temos:
e
Subtraindo 5 de 4 e multiplicando por – i obtemos Lz. Os dois primeiros termos de cada equação se cancelam e os últimos termos se somam:
Lz = – i(cos2 + sin2) = – i | (6) |
O cálculo de Lx e Ly é completamente análogo e resulta em
Lx = i(sin + ) | (7) |
Ly = i(- cos + ) | (8) |
Os operadores L+ e L– podem ser calculados também:
L+ = ei( + ) | (9) |
L– = (L+) = e-i(- + ) | (10) |
Fica como exercício provar essas equações, principalmente a última relação para L–.
Finalmente calculamos L2. Começamos com Lx2:
Lx2 | = | –(sin+)(sin+) |
= | – sin2–+2+– | |
+ |
Da mesma forma obtemos:
Ly2 | = | –(-cos+)(-cos+) |
= | – cos2+-2++ | |
+ |
e
Somando tudo obtemos finalmente