Notas de aula de Mecânica Quântica I – Marcus A.M. de Aguiar – 17/11/99
A transformação de coordenadas cartezianas para esféricas é dada por
e a transformação inversa é
Em coordenadas cartezianas os operadores de momento angular são dados por:
Para ilustrar o calculo desses operadores em coordenadas esféricas faremos o caso Lz. As derivadas /
x e
/
y são escritas como:
![$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial x}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img8.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial r}{\partial x}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img9.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial r}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img10.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \theta}{\partial x}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img11.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial \theta}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img12.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \phi}{\partial x}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img13.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial \phi}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img14.gif)
e
![$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial y}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img15.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial r}{\partial y}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img16.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial r}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img10.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \theta}{\partial y}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img17.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial \theta}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img12.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \phi}{\partial y}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img18.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial \phi}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img14.gif)
As derivadas das coordenadas esféricas em relação às cartezianas pode ser obtida derivandos implicitamente ambos os lados das equações 2 em relação á x, y ou z:
![$\displaystyle {\frac{\partial r}{\partial x}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img9.gif)
![$\displaystyle {\frac{x}{r}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img19.gif)
![$\displaystyle \theta$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img1.gif)
![$\displaystyle \phi$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img2.gif)
![$\displaystyle {\frac{1}{\cos^2{\theta}}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img20.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \theta}{\partial x}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img11.gif)
![$\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} z}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img21.gif)
![$\displaystyle {\frac{\cos{\phi}}{r \cos{\theta}}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img22.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \theta}{\partial x}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img11.gif)
![$\displaystyle {\frac{\cos{\theta} \cos{\phi}}{r}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img23.gif)
![$\displaystyle {\frac{1}{\cos^2{\phi}}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img24.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \phi}{\partial x}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img13.gif)
![$\displaystyle {\frac{y}{x^2}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img25.gif)
![$\displaystyle {\frac{\sin{\phi}}{r \sin{\theta} \cos^2{\phi}}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img26.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \phi}{\partial x}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img13.gif)
![$\displaystyle {\frac{\sin{\phi}}{r \sin{\theta}}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img27.gif)
Fazendo o mesmo processo com as derivadas em relação à y obtemos
![$\displaystyle {\frac{\partial r}{\partial y}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img16.gif)
![$\displaystyle \theta$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img1.gif)
![$\displaystyle \phi$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img2.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \theta}{\partial y}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img17.gif)
![$\displaystyle {\frac{\cos{\theta} \sin{\phi}}{r}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img28.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial \phi}{\partial y}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img18.gif)
![$\displaystyle {\frac{\cos{\phi}}{r \sin{\theta}}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img29.gif)
Voltando à equação 3 para Lz temos:
e
Subtraindo 5 de 4 e multiplicando por – i obtemos Lz. Os dois primeiros termos de cada equação se cancelam e os últimos termos se somam:
Lz = – i![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(6) |
O cálculo de Lx e Ly é completamente análogo e resulta em
Lx = i![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(7) |
Ly = i![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(8) |
Os operadores L+ e L– podem ser calculados também:
L+ = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(9) |
L– = (L+)![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(10) |
Fica como exercício provar essas equações, principalmente a última relação para L–.
Finalmente calculamos L2. Começamos com Lx2:
Lx2 | = | –![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
= | – ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Da mesma forma obtemos:
Ly2 | = | –![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
= | – ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
e
![$\displaystyle \hbar^{2}_{}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img40.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img51.gif)
Somando tudo obtemos finalmente
![$\displaystyle \hbar^{2}_{}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img40.gif)
![$\displaystyle \left(\vphantom{ \displaystyle{-\frac{\partial^2}{\partial \theta...
... \theta} +
\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}} }\right.$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img57.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img42.gif)
![$\displaystyle {\frac{1}{\tan{\theta}}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img58.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial}{\partial \theta}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img12.gif)
![$\displaystyle {\frac{1}{\sin^2{\theta}}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img59.gif)
![$\displaystyle {\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}}$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img51.gif)
![$\displaystyle \left.\vphantom{ \displaystyle{-\frac{\partial^2}{\partial \theta...
... \theta} +
\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}} }\right)$](http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Cursos/F689/m-angular/img60.gif)