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3 - Interferômetro de Michelson

1 – INTRODUÇÃO
Veja em  http://www.mountainman.com.au/aether_0.html   um artigo que A. Einstein fez em Maio de 1920 sobre o Éter e a teoria da relatividade (inglês).
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Fig. 1 - Interferômetro de Michelson.

a) Funcionamento
O interferômetro de Michelson (1852 - 1931, prêmio Nobel em 1907), é a forma fundamental da grande variedade de interferômetros de 2 feixes. No esquema a seguir (fig. 6.1), a luz vem expandida da fonte L, incide na placa paralela P, sofre uma refração até incidir na outra superfície semi-espelhada, onde irá se dividir em 2 feixes, os quais irão atingir os espelhos A1 e A2 perpendicularmente.
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Fig. 1 - Esquema óptico do interferômetro.

Os retornos dos feixes irão atingir a face semi-espelhada da placa P, e as franjas de interferência podem ser vistas diretamente a olho nu, ou através de um telescópio F. Notar que a luz refletida por A2 passa através da placa P 3 vezes, enquanto que a luz refletida por A1 passa apenas 1 vez. A placa compensadora P1, é idêntica na espessura e no paralelismo à placa P.
Sua inserção vai equalizar os caminhos dos dois feixes.
Quando os espelhos estiverem à distâncias iguais e perpendiculares, o campo de interferência será uniforme. Quando as superfícies refletoras não estiverem perpendiculares, as franjas passam de circulares a linhas. Quanto maior a diferença entre as distâncias dos espelhos A1 e A2 à placa P, mais círculos concêntricos de interferência serão observados. Assim toda vez que o deslocamento do espelho móvel atingir um valor múltiplo de λ /2, o valor da intensidade se repete.
A presença das lâminas de vidro trazem também um sistema paralelo de reflexões na segunda face e consequentemente de franjas . A intensidade deste sistema secundário é fraco, e dificilmente é possível observa-lo.
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Fig. 2 - Sugestão para o alinhamento

Fontes de luz COERENTES são as fontes entre as quais uma relação de fase constante, estável existe sobre períodos de tempo bastante longos para permitir o estabelecimento e observação de um padrão de interferência

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2 - OBJETIVOS
Familiarização c/ o instrumento e alinhamento de seus elementos. Uso do interferômetro para medidas precisas de pequenos deslocamentos, λ de fontes monocromáticas, comparação de superfícies planas, medida de comprimento de coerência de diversas fontes luminosas e índice de refração de gases.
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3 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
a - Alinhamento
O feixe direto emitido pelo Laser constitui um fino raio intenso, monocromático e coerente que facilita o alinhamento (fig. 2). A idéia aqui é a de alinhar os espelhos de modo que a reflexão de cada um deles volte exatamente pelo mesmo caminho, o que pode ser verificado observando as reflexões sobre o cartão c/ furo fixado na saída do laser.
Quando os espelhos estão alinhados (Perpendiculares entre si) as duas reflexões, voltam passando pelo furo.
Observe que o espelho A2 possue apenas 1 grau de liberdade e o espelho A1 possue 2. Logo para que as reflexões retornem ao Laser, a reflexão do espelho 2 só pode ser ajustada deslocando todo o equipamento ( A base toda), só depois ajusta-se a reflexão do espelho 1 através dos 2 parafuso de ajuste.
Na condição de alinhamento perfeito, devem-se observar círculos de interferência ou partes deles. Para ligeiros desalinhamentos se observam franjas aproximadamente retas e paralelas. Estas figuras de interferência são mais fáceis de se observar com uma fonte extensa ou com um feixe expandido.Por esta razão, depois do alinhamento inicial utilizamos uma lente divergente para expandir o feixe Laser, permitindo assim observar no anteparo o padrão de interferência . O ajuste é feito alinhando com cuidado o espelho 1, de modo a se observar o padrão na forma de círculos (Para a contagem, fica bem mais fácil deslocar o centro do deslocamento das franjas).
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Fig. 3 - Figuras de interferência.

É importante lembrar que a distribuição luminosa do feixe Laser não é uniforme, mas sim Gaussiana, ou seja, mais intensa no centro do que nas bordas. Assim, o encontro da borda de um feixe com o centro de outro produz franjas de menor visibilidade.
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b) - Escala do parafuso micrométrico
Devido à ordem de grandeza dimensional que é operada no interferômetro (350nm) é necessário um sistema mecânico que permita o deslocamento do espelho com bastante suavidade.
Conforme pode ser observado no equipamento, o espelho é deslocado através de um sistema de redução por alavanca, conjugado com um parafuso micrométrico.
A cada duas voltas do parafuso, sua ponta desloca 1mm, e o espelho através da alavanca caminha aproximadamente 5 vezes menos ( Os equipamentos não são exatamente iguais).
A cada duas voltas do parafuso, sua ponta desloca 1mm. ( 0,5mm por volta )
A escala do tambor móvel do parafuso divide 0,5 mm em 50 partes ( 0.01 mm por divisão) .
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c) - Calibração do parafuso  micrométrico
Determinação da relação de redução
 
RΔ LparafusoΔ Lespelho ou
 
R = (no divisões parafuso x 0,01 mm) / (no de franjas x λ/2)  (cuidado com as unidades !!!)
 
Iluminando o interferômetro com a luz extensa do Laser de He-Ne e inclinando levemente o espelho para se obter franjas quase retas, desloca-se o parafuso do espelho móvel um certo número de divisões e conta-se o número de franjas de interferência que passam pelo centro do campo de visão.

Fig. 4 Sistema de redução dos movimentos.

Cada interferômetro possue uma razão de redução R entre os movimentos do parafuso micrométrico e o espelho móvel, o valor desta razão deverá ser determinada com precisão (Fazer várias leituras e depois um tratamento estatístico).
Obs.1 - Cada franja que aparece ou desaparece no campo de visão, representa um deslocamento do espelho móvel de λ/2.
Obs. 2 - O Laser de He-Ne tem λ = 632,8 nm e o Laser de vermelho de semicondutor λ = 650,0 nm.
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d) - Determinação do λ de uma fonte espectral.
Depois de conhecida a geometria do equipamento, é possível através de um processo inverso ao que foi feito, determinar-se o λ de uma outra linha espectral, através da contagem das franjas interferométricas (R = Δ L parafuso / Δ L espelho).
Substituindo-se o Laser por uma lâmpada espectral, selecione o λ que se deseja determinar, interpondo um filtro colorido para selecionar uma faixa desejada. Coloque no suporte do interferômetro uma placa de vidro despolido para espalhar a luz e incline levemente o espelho móvel para tornar as franjas aproximadamente retas. As franjas não serão mais projetadas na parede, só poderão ser vistas diretamente no equipamento.
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e) - Determinação do Δλ das linhas do Na ou Hg:
Substituindo-se a fonte de luz por uma lâmpada de Hg ou Na com um dublet amarelo, coloque também no suporte do interferômetro, uma placa de vidro despolido para difundir a luz..

Fig. 5 - Curva de contraste dos anéis.

Devido à proximidade dos λs das duas linhas, aparece um padrão de franjas cuja visibilidade aumenta e diminue periodicamente (Fig. 5) ao variarmos bastante a distância entre os espelhos através do parafuso micrométrico.
Observando a distância que o espelho móvel caminha, determine T (T é a distância que o espelho do interferômetro efetivamente se move para que ocorram duas anti-coincidências sucessivas no anteparo) usando o ΔL do parafuso micrométrico por ciclo e a R já aferida entre os máximos de contraste (ou mínimos que são mais fáceis de discriminar).
Obs. Para o cálculo usar o λmédio medido ou consultar uma tabela.
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4 - RESUMO DO ROTEIRO SUGERIDO - Veja o resumo das atividades para este semestre
O prof. determinará os ítens a serem executados
a) - Alinhar o interferômetro (Observe os reflexos no Laser ).
b) - Encontrar as franjas de interferência usando-se um expansor na saída do Laser de He-Ne .
c) - Contar aproximadamente 200 franjas em tres intervalos de 10 divisões no parafuso micrométrico , note que o erro será menor se o no de franjas coincidir com um no de divisões no parafuso completas e plotando um gráfico de várias medidas. Determinar a razão de redução parafuso/espelho.
d) - Usando a razão encontrada no ítem anterior, determine o λ de alguma das linhas espectrais do Hg, ou o λmédio do Na, ou o λ de algum outro laser do laboratório (Contar aproximadamente 200 franjas em tres intervalos de 10 divisões no parafuso micrométrico . Observe que as franjas não serão mais projetadas, e sim observadas dentro do equipamento - Usar um filtro colorido p/ selecionar a faixa espectral desejada).
e) - Usando a lâmpada de Na ou Hg, determine a diferença de comprimento de onda Δλ do "dublet" amarelo desta fonte, não contar as franjas, apenas observar os ciclos de contraste (fig. 5).
f) – Usando um Laser ou uma lâmpada de luz branca, encontre a condição de diferença de caminho ótico nulo (DCON) onde haverá franjas policromáticas.
g) – Determinar o índice de refração do ar.
h) – Se a placa compensadora for removida, o que ocorrerá – explique.
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5 - BIBLIOGRAFIA
- Hecht, Eugene, "Optics". Adelphi University, Addison-Wesley Publishing Company (1990).
- Francis A. Jenkins and Harvey White, "Fundamental of Optics", MacGraw Hill. (1976).
- John P. McKelvey and Howard Grotch, "Fisica 4 ", Harbra - Harper & Row do Brasil, São Paulo cap 24 (1981).
- G. R. Fowles, "Introduction to Modern Optics", Holt, Rinehart and Winston, second edition, New York (1975).
- Ajoy K. Ghatak, "An introduction to the Modern Optics", (cod. bibl. IFGW 5356411 i).
- R. S. Shankland, "The Michelson-Morley Experiment" - Scientific American Vol 3, 1964.
- Eisberg, "Física - Fundamentos e aplicações", MacGraw Hil.
- Scientific American Resource Library, "Readings in Physical Sciences and Technology" Vol 3.
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6 - APÊNDICE
I) - Medidas de pequenas diferenças de comprimento de onda:
Prof. Mario B. Moraes
A figura 6.6 representa num esquema resumido, alguns elementos importantes para a formação da figura de interferência pelo interferômetro de Michelson.
S1 e S2 são as duas imagens virtuais, formadas pelos dois espelhos, da fonte de luz a ser analisada pelo instrumento. A figura de interferência, na forma de anéis concêntricos claros e escuros forma-se no anteparo A e é centrada no ponto P. Imaginemos agora que cada uma das fontes virtuais (de mesma potência) emita em duas freqüências muito próximas w1 e w 2, sendo w 1>w2.

Fig. 6 - Formação da figura de interferência.

Suponhamos que para a freqüência w1 a intensidade no ponto P seja máxima, o que implica (ver equações para o interferômetro) em:
d = (m + 1/2) l1 m = 0,1,2,... (1)
onde d é a distância entre as duas imagens (S1 e S2) e l1 é o comprimento de onda associado à freqüência w1.
Suponha que ao mesmo tempo que isto acontece, a intensidade em P para a freqüência w2 seja mínima (zero), o que implica em:
d = m λ2 = 2m λ2/2 m = 0,1,2,... (2)
onde λé o comprimento de onda associado à w2.
Estas duas últimas equações, quando satisfeitas simultaneamente para a distância d significam que o anteparo está uniformemente iluminado pelas duas fontes, pois onde existe um mínimo de interferência para w2 (anel escuro), existirá um máximo para w1 (anel claro) e vice-versa. Chamaremos esta condição de condição de anti-coincidência de anéis.
Nesta condição, podemos afirmar que no comprimento d cabem exatamente um número ímpar de meios comprimentos de onda λ1 e um número par de meios comprimento de onda λ2. [Ver eqs. (1) e (2)].
Como a razão d/(λ1/2) é um número ímpar, e d/(λ2/2) é um número par, teremos evidentemente:
[d/(λ1/2)] - [d/(λ2/2)] = número ímpar = N. (3)
Se o espelho móvel do interferômetro for agora deslocado de tal forma que surja a nova condição de anti-coincidência, teremos:
[d’/(λ1/2)] - [d’/(λ2/2)] = N + 2 (4)
porquê N + 2 é o número ímpar mais próximo que se segue a N. Nesta equação, d’ é a nova distância entre as imagens virtuais S1 e S2.
Subtraindo a eq. (3) da eq. (4) e fazendo D = d’- d, teremos:
(2Δ/λ1) - (2Δ/λ2) = 2 . (5)
Como λ1 = λ mΔλ /2 e λ2 = λ mΔλ /2, onde λm = (λ1 + λ2)/2, e Δλ = λ2 - λ1, deduz-se imediatamente que:                                                       ?????????????
Δλ»(λm)2/Δ (6)    ???????????????
onde se considerou (Δλ)2 » 0 devido Δλ <m.  (????????????)
Finalmente, lembrando-se que ao se deslocar o espelho móvel de uma distância x qualquer a imagem se desloca de 2x, podemos escrever:
Δλ» (λm)2/2T (7)
onde T é a distância que o espelho do interferômetro efetivamente se move para que ocorram duas anti-coincidências sucessivas no anteparo.
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II) Franjas de luz branca - Equalização dos dois braços do interferômetro (DCON)
Deslocando-se o espelho móvel, ou seja, variando a distância entre os dois braços do interferômetro, pode-se observar que o tamanho dos anéis varia. Isto depende se a diferença de caminho óptico está aumentando ou diminuindo, (Se a diferença entre os dois diminui, o raio dos anéis aumenta) e pode portanto ser aproveitada para achar o ponto, onde a diferença de caminho óptico é nula (DCON). Nesta situação o tamanho dos anéis é tão grande que não cabe mais no campo de observação.
Retirando-se a lâmpada de Na, coloca-se uma lâmpada de luz branca com um filtro interferencial ( 5 nm de largura de passagem), o que torna a luz "quase" monocromática.
Como na situação anterior, as franjas não serão projetadas, mas sim observadas diretamente no equipamento.
Variando-se a posição do espelho móvel, quando se atinge a condição de DCON surgirão franjas, sendo que seu aparecimento e desaparecimento não são periódicos (Ocorrerá apenas uma vez).
Na posição de máximo contraste, pode-se retirar o filtro deixando-se apenas a fonte de luz, que ainda haverá franjas, porém não mais monocromáticas, mas sim policromáticas (Apresenta apenas um máximo de visibilidade com uma franja preta e umas poucas coloridas de cada lado) ao se atingir exatamente o DCON.
Note que ao substituir ou deslocar a fonte de luz, as franjas de interferência não mudam de posição.
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III) Medida do índice de refração de gases
Para que seja possível fazer a medida do índice de refração de um gás, uma cela deve ser
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Fig. 7 - Esquema para a medida com gases.

fixada firmemente no lado do braço variável do interferômetro, de modo que não haja nenhum movimento principalmente devido à tração das mangueiras (fig. 7).
O interferômetro deverá ser alinhado com um Laser ou uma lâmpada de Hg até que as franjas se tornem circulares.
Ligar a bomba de vácuo e abra a válvula lentamente para que haja tempo de registrar os dados até que o sistema esteja vazio,
A sugestão do procedimento, é que um observador conte as franjas e outro anote a pressão do gás, o que pode ser feito a cada 5 franjas.
Um termômetro poderá ser acoplado à cela para anotar variações de sua temperatura. A leitura do manômetro plotada com o número de franjas nos fornecerá uma reta de onde poderemos obter o valor dN/dP ( dN é a variação do no de franjas e o dP é variação de pressão).
Se o comprimento da cela for l, a variação do caminho óptico com a admissão do gás de índice de refração n será de 2 l ( n -1 ) e o número de franjas contadas será de 2 l ( n-1 ) /λ ,
onde λ é o comprimento de onda da luz usada no experimento.

O índice de refração do gás depende quase que inteiramente da densidade e não da pressão e da temperatura separadamente.
Notar que somente as diferenças de pressão devem ser consideradas
Um outro método, consiste em determinar o DCON antes de introduzir o gás na cela (cela com ar ou vácuo) , e o novo DCON com o gás a ser determinado, então a partir do deslocamento do espelho entre as duas situações, é possível calcular o índice de refração do gás.
Para que as medidas sejam confiáveis não esquecer de:
a) Desvios da lei de gás ideal assumida no modelo matemático.
b) Mudança nas dimensões da cela devido à pressão atmosférica quando estiver em vácuo.
c) Influência da umidade relativa do ar.
d)Variações dimensionais do interferômetro durante as medidas.
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