A disciplina de Mecânica Avançada começa com uma revisão da Mecânica Newtoniana, passando em seguida para a formulação de Lagrange. As equações de Lagrange são úteis para o tratamento de sistemas sujeitos a vínculos holonômicos, e serão formuladas primeiramente via princípio de D’Alembert e depois usando o princípio variacional de Hamilton. A inclusão de alguns tipos de vínculos não holonômicos é então feita com o método dos multiplicadores de Lagrange. Passaremos em seguida para a mecânica Hamiltoniana. Nesse ponto exploraremos com mais detalhes a teoria de transformações canônicas, as variáveis de ângulo e ação e a teoria de Hamilton-Jacobi, quando discutiremos alguns exemplos ligados à mecânica estatística e ao limite semiclássico da mecânica quântica. Estudaremos então o conceito de integrabilidade e a teoria de perturbações, que fará a ligação com a teoria de caos em sistemas Hamiltonianos. Caos aparece como consequência natural da não-integrabilidade das equações de Hamilton para sistemas com mais de um grau de liberdade. A integrabilidade, condição para comportamento regular, é rara. Estudaremos sistemas não integráveis perturbativamente, mostrando como regiões fractais de movimento caótico infiltram-se pelo espaço de fases levando gradativamente à imprevisibilidade do movimento para tempos longos. Como aplicações, estudaremos o cinturão de asteroides entre Marte e Júpiter e os anéis de Saturno, tratando-os como um problema de três corpos restrito. Se houver tempo discutiremos brevemente a teoria de caos em sistemas dissipativos e o limite do contínuo para a descrição de campos clássicos.
Tópicos:
- Revisão da Mecânica de Newton
- O princípio de D’Alembert e as Equações de Lagrange
- O princípio variacional e as Equações de Lagrange
- O método dos multiplicadores de Lagrange
- As Equações de Hamilton
- Transformações canônicas e Parênteses de Poisson
- Invariantes canônicos
- A Equação de Hamilton-Jacobi
- O teorema de integrabilidade de Arnold-Liouville
- Variáveis de ângulo e ação
- Estabilidade
- Teoria de perturbação canônica
- O Teorema KAM
- Aplicações: falhas nos anéis de Saturno e no cinturão de asteróides
- O Teorema de Poincaré-Birkhoff
- Caos: emaranhados homoclínicos e o Mapa da Ferradura
- Simetrias e meios contínuos
Aulas:
3as das 14h-16h sala IF-15
5as das 14h-16h sala IF-15
programação das aulas – 2019
Listas de Exercícios:
f195-lista1 – Veja o artigo – O oscilador Quártico e funções elípticas de Jacobi – Nivaldo Lemos
f195-lista2
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f195-lista4
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f195-lista8
Provas:
f195-prova1 – entregar dia 04 de abril
f195-prova2 – prova presencial dia 25 de abril – solucao
f195-prova3 – entregar dia 4 de junho
f195-prova4 – entregar dia 2 de julho
Notas de aula:
Solução do Mapa-de-Meyer
Solução do oscilador perturbado
Avaliações – Resultados aqui: fi195notas-2019
3 provas para serem feitas em casa
1 prova presencial dia 25 de abril
O conceito final será baseado na média das 4 avaliações.
Bibliografia:
Tópicos de Mecânica Avançada – M.A.M. de Aguiar
A lecture on the KAM theorem – Jurgen Poschel
Comensurate Harmonic Oscillators – Classical Symmetries – Jean-Pierre Amiet
Classical mechanics – H. Goldstein
Mecânica Analítica – Nivaldo Lemos
Theoretical mechanics of particles and continua – Fetter and Walecka
The variational principles of mechanics – C. Lancsos
Classical dynamics of particles and systems – Marion e Thornton
Mecânica – K.R. Symon
Mechanics – Florian Scheck
Mathematical Methods of Classical Mechanics – V.I. Arnold
Regular and stochastic motion – A.J. Lichtenberg e M.A. Lieberman
Chaos in dynamical systems – E. Ott
