A disciplina de Mecânica Avançada começa com uma revisão da Mecânica Newtoniana, passando em seguida para a formulação de Lagrange. As equações de Lagrange são úteis para o tratamento de sistemas sujeitos a vínculos holonômicos, e serão formuladas primeiramente via princípio de D’Alembert e depois usando o princípio variacional de Hamilton. A inclusão de alguns tipos de vínculos não holonômicos é então feita com o método dos multiplicadores de Lagrange. Passaremos em seguida para a mecânica Hamiltoniana. Nesse ponto exploraremos com mais detalhes a teoria de transformações canônicas, as variáveis de ângulo e ação e a teoria de Hamilton-Jacobi, quando discutiremos alguns exemplos ligados à mecânica estatística e ao limite semiclássico da mecânica quântica. Estudaremos então o conceito de integrabilidade e a teoria de perturbações, que fará a ligação com a teoria de caos em sistemas Hamiltonianos. Caos aparece como consequência natural da não-integrabilidade das equações de Hamilton para sistemas com mais de um grau de liberdade. A integrabilidade, condição para comportamento regular, é rara. Estudaremos sistemas não integráveis perturbativamente, mostrando como regiões fractais de movimento caótico infiltram-se pelo espaço de fases levando gradativamente à imprevisibilidade do movimento para tempos longos. Como aplicações, estudaremos o cinturão de asteroides entre Marte e Júpiter e os anéis de Saturno, tratando-os como um problema de três corpos restrito. Se houver tempo discutiremos brevemente a teoria de caos em sistemas dissipativos e o limite do contínuo para a descrição de campos clássicos.
Tópicos:
- Revisão da Mecânica de Newton
- O princípio de D’Alembert e as Equações de Lagrange
- O princípio variacional e as Equações de Lagrange
- O método dos multiplicadores de Lagrange
- As Equações de Hamilton
- Transformações canônicas e Parênteses de Poisson
- Invariantes canônicos
- A Equação de Hamilton-Jacobi
- O teorema de integrabilidade de Arnold-Liouville
- Variáveis de ângulo e ação
- Estabilidade
- Teoria de perturbação canônica
- O Teorema KAM
- Aplicações: falhas nos anéis de Saturno e no cinturão de asteróides
- O Teorema de Poincaré-Birkhoff
- Caos: emaranhados homoclínicos e o Mapa da Ferradura
- Simetrias e meios contínuos
Aulas:
2as e 4as das 14h-16h – Sala IF-15
Aula de exercícios: 4as das 13h-14h – Sala CB13
Data das Provas:
P1: 12 de abril
P2: 08 de maio
P3: 05 de junho
P4: 28 de junho
Bibliografia principal:
Tópicos de Mecânica Avançada – M.A.M. de Aguiar
Classical mechanics – H. Goldstein
Mecânica Analítica – Nivaldo Lemos
The variational principles of mechanics – C. Lancsos
Classical dynamics of particles and systems – Marion e Thornton
Mecânica – K.R. Symon
Listas de Exercícios: exercícios no final dos capítulos do livro Tópicos de Mecânica Avançada
Notas de aula adicionais:
Solução do Mapa-de-Meyer
Solução do oscilador perturbado
Livros e artigos adicionais:
Theoretical mechanics of particles and continua – Fetter and Walecka
A lecture on the KAM theorem – Jurgen Poschel
Comensurate Harmonic Oscillators – Classical Symmetries – Jean-Pierre Amiet
O oscilador Quártico e funções elípticas de Jacobi – Nivaldo Lemos
Mechanics – Florian Scheck
Mathematical Methods of Classical Mechanics – V.I. Arnold
Regular and stochastic motion – A.J. Lichtenberg e M.A. Lieberman
Chaos in dynamical systems – E. Ott
From Galileo to Bernoulii: the evolution of the Brachistochrone curve
Aulas gravadas no YouTube: link para o canal
Aula 1 – Revisão de Mecânica Newtoniana – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 2 – Dinâmica de uma partícula e de um sistema de partículas – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 3 – O problema de Kepler – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 4 – Vínculos e o Princípio de D’Alembert – Vídeo – Aula-Anontada
Aula 5 – As equações de Lagrange – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 6 – O princípio variacional de Hamilton – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 7 – Multiplicadores de Lagrange – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 8 – Coordenadas cíclicas e leis de conservação – Vídeo – Aula-Anotada (vídeo com falha no início).
Aula 9 – Ação clássica: mínimo ou máximo? O teorema de Morse – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 10 – Transformações de Legendre; Hamiltoniana e as equações de Hamilton – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 11 – Eqs. de Hamilton pelo Princípio Variacional; Notação simplética; superfícies de energia – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 12 – O oscilador harmônico bidimensional: toros e superfície de energia – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 13 – Transformações canônicas: funções geratrizes – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 14 – Colchetes de Poisson – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 15 – Invariântes Canônicos: teorema de Liouville, teorema de recorrência de Poincaré – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 16 – Dinâmica de funções de q e p; Operador de Liouville; Evolução de distribuições clássicas – Vídeo – Aula-Anotada.
Aula 17 – A equação de Hamilton-Jacobi – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 18 – A “equação quântica de Hamilton-Jacobi” – Vídeo – Aula-Anotada – Vídeo-Bouncing-Droplets
Aula 19 – O teorema de integrabilidade de Arnold-Liouville – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 20 – Variáveis de ação e ângulo – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 21 – Super integrabilidade – vetor de Laplace-Runge-Lenz e osciladores ressonantes – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 22 – Estabilidade de pontos de equilíbrio: um grau de liberdade – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 23 – Seções de Poincaré, pontos fixos e estabilidade – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 24 – Teoria de Perturbação – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 25 – Perturbação de toros ressonantes – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 26 – O teorema KAM – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 27 – Aplicações em astronomia – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 28 – Caos: o emaranhado homoclínico – Vídeo – Aula-Anotada
Aula 29 – Teorias de campo e leis de conservação – Vídeo – Aula-Anotada
Aulas de exercícios no YouTube
Exercícios 1 – Pêndulo duplo e pêndulo preso a fio com massa – Vídeo – Aula-Anotada
Exercícios 2 – Pêndulo com mola; Aro rodando na vertical com conta – Vídeo – Aula-Anotada
Exercícios 3 – Problemas do livro: 1.3, 1.5, 2.8, 2.9, 2.10, 3.2 – Vídeo – Aula-Anotada
Exercícios 4 – Problemas do livro: 1.1, 3.5, 3.6 – Vídeo – Aula-Anotada
Exercícios 5 – Hamiltoniana do oscilador harmônico e Problema 4.2 – Vídeo – Aula-Anotada
Exercícios 6 – Problemas do livro: 4.3 e 4.4 – Vídeo – Aula-Anotada
Exercícios 7 – Problemas do livro: 5.1, 5.2 e 5.6 – Vídeo – Aula-Anotada
Exercícios 8 – Problemas do livro: 5.2, 5.5, 5.9 e 5.10 – Vídeo – Aula-Anotada.
Exercícios 9 – Problemas do livro: 5.3, 5.7 e 5.8 – Vídeo – Aula-Anotada.
Exercícios 10 – Problemas do livro: 6.1, 6.2 e 6.3 – Vídeo – Aula-Anotada.
Exercícios 11 – Problemas do livro: 6.4 e 6.5 – Vídeo – Aula-Anotada.
Exercícios 12 – Exemplo de sistema com caos: o “rotor chutado” e o mapa padrão – Vídeo – Aula-Anotada
Exercícios 13 – Problemas do livro: 7.8, 8.1, 6.5 – Vídeo – Aula-Anotada
Exercícios 14 – Problemas do livro: 7.1, 7.2, 7.6, 7.4 – Vídeo – Aula-Anotada
Exercicios 15 – Problemas do livro: 7.7 8.6, 7.3 – Vídeo – Aula-Anotada
Códigos Python
standard map – múltiplas condições iniciais
standard map – versão com uma única condição inicial
kicked harmonic oscillator
linearly kicked harmonic oscillator
Solução das Provas
Primeira prova
Segunda prova
Terceira prova
